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如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，题型多为小题，偶有大题。 定理1 已知点 是离心率为 的圆锥曲线 的焦点，过点的弦 与的焦点所在的轴的夹角为 ，且 。（1）当焦点内分弦时，有 ；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。 证明 设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。 （1） 当焦点内分弦时。 如图1，，所以。
图1 （2） 当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。 如图2，，所以。
图2 评注 特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1 已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（ ） 解 这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（ ） 解 这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。 例3 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿
图3 解 如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。 例4 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿ 解 设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。 例5 已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿ 解 这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。 定理2 已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为。过点的弦与曲线的焦点所在的轴的夹角为，则有。 证明 设点在准线上的射影分别为，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点。由圆锥曲线的统一定义得，，所以。
图4 （1）当焦点内分弦时。如图4，，。， 所以较长焦半径，较短焦半径。 所以。 （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
图5 如图5，，。 所以， 所以较长焦半径，较短焦半径。 所以。 综合（1）（2）知，较长焦半径，较短焦半径。焦点弦的弦长公式为。 特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距就是径之半，较长焦半径，较短焦半径，焦点弦的弦长公式为。当曲线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为。 注 由上可得，当焦点内分弦时，有 。当焦点外分弦时，有 。 例6 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿ 解 由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。 例7 已知椭圆的右焦点为，经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点，已知。 （1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆方程。 解 （1）这里，，由定理1的公式得，解得。 （2）将，代入焦点弦的弦长公式得，，解得，即，所以①，又 ，设 ，代入①得 ，所以 ，所以 ，故所求椭圆方程为 。 例8 过双曲线 的右焦点作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，则 的值为＿＿＿ 解 易知均在右支上，因为 ，离心率 ，点准距 ，因倾斜角为，所以 。由焦半径公式得，  。
例9 过双曲线的右焦点作倾斜角为 的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿ 解 因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以 。注意到分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得，  。 例10 如图6，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线交椭圆于 两点，过 的直线交椭圆于 两点，且 。求四边形面积的最小值。 
图6 解 由方程可知， ，则 。 设直线 与 轴的夹角为，因为，所以直线 与轴 的夹角为 。代入弦长公式得，  ， 。故四边形的面积为， 。
所以四边形面积的最小值为 。
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