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令a=x+y，b=x-y，利用平方差公式易得等式（x＋y）²-（x-y）²=4xy。利用这个式子中的（x＋y）²-（x-y）²可计算4xy的值，从而得到xy的值。多数情况下，这样计算xy的值，是走了弯路。当x、y的和是定值的情况下，利用式子（x＋y）²-（x-y）²=4xy判断积xy的值随x与y的变化情况是很直观的。 一、判断两个正数和一定与它们的积随差值的改变而变化的情况 两个正数的积随它们的差值改变：两个正数的和一定，两个正数的差越小，它们的积越大，当这两个数相等时，它们的积最大。判断这个结论的方法已有多种，这里不赘述。除了那些判断方法外，还可以利用平方差公式来判定这个结论。 令两个正数是x和y，那么，它们的和是（x＋y），它们的差是（x-y）。它们的平方差:（x＋y）²-（x-y）²=4xy。因x>0、y>0， 所以xy>0，式子中的（x＋y）²>（x-y）²。基于（x＋y）²是定值，这两个正数的积4xy随（x-y）²的增大而减小。当x=y时，（x-y）²有最小值，相应的有积xy是最大值。 利用式子（x＋y）²-（x-y）²=4xy（相当于xy=[（x＋y）²-（x-y）²）]÷4）容易看出:两个正数和一定，两数的差越小，它们的积越大，当两数相等时，它们的积最大。 当x、y是两个大于0的正数时，xy=│x│·│y│，而（-）x·(-)y=xy，所以，当两个不为0的负数的和一定时，两个负数的差越小，它们的积也越大，最大积为（x＋y）²÷4。 二、利用图形判断两个正数和一定与它们的积随差值的改变而变化的情况 令式子（x＋y）²-（x-y）²=4xy中的x>0、y>0、y>x。把（x＋y）²的值看成是以（x＋y）为边长的正方形的面积，把（x-y）²的值看成是以（y-x）为边长的正方形的面积，把xy的值看成是边长为x、Y的矩形的面积，利用图形可证明：在x>0、y>0的情况下的（x＋y）²-（y-x）²=4xy。 将四个相同的边长都是x、y的矩形按图示的那样排列，它们所围成的边框是正方形A（y>x），它的面积就是（x＋y）²。中间空着的部分也是正方形的，这个正方形B的边长是（y-x），面积就是（y-x）²。
依据图形可看出：正方形A的面积=四个相同矩形的面积+正方形B的面积，即（x＋y）²=4xy+（y-x）²，变形后得（x＋y）²-（y-x）²=4xy。 在保证和（x＋y）不变基础上，通过调整差（y-x）的值，利用图形可演示结论：两个正数和一定，两个正数的差越小，它们的积大，当两数相等时，它们的积最大。设x+y=10，且都取整数。
个
设两个正数中的大数是A，它们的差是a，则这两个正数的积是A(A-a)=A²-Aa，用算术的方法也是容易判断前面所述的结论的，但图示就不那么直观了，因为A的值不确定。 |
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来自： 樊贤泽 > 《原创文章——数学类》
