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我是中考数学当百荟，我来回答。 对初中生而言，乘法公式分两类：平方公式和立方公式。其中常用的是平方公式，现行《课标》中已经把立方公式不做要求了。平方公式包括：平方差公式和完全平方公式，立方公式包括：完全立方公式、立方和、立方差公式等。它们的推导主要有两种方式：代数法和几何法，两种方式相互印证，体现数形结合的思想。代数方法，主要运用整体思想和分配律，几何方法，主要运用图形的等（面）积变换。 01--乘法公式平方公式 平方差 (a-b)(a+b)=a²-b² 完全平方公式 (a-b)²=a²+b²-2ab (a+b)²=a²+b²+2ab 立方公式 立方差 (a-b)(a²+b²+ab)=a^3-b^3 立方和 (a+b)(a²+b²-ab)=a^3+b^3 完全立方公式 (a-b)^3=a^3-3a²b+3ab²-b^3 (a+b)^3=a^3+3a²b+3ab²+b^3 02--乘法公式的推导乘法公式是初中阶段务必掌握的基础内容，也是重点。对初学者而言，乘法公式太多了，容易犯死记硬背的大忌。死记硬背绝对是最后的选择，除非不能理解，学习没有章法（可想而知，死记硬背者，在公式运用阶段的那种痛苦和不堪状）。因而学习乘法公式必须弄清楚公式的来龙去脉，掌握公式的推导，推导包括代数法和几何法。理解了，你就会发现其中的规律，理解了，你就会巧妙记忆，将公式归类，在此基础上，你就会发现原来公式并不需要那么多，4个够了，甚至1个（分配律）足矣! 乘法公式的代数法推导，主要依据初中七年级所学的多项式乘法法则，追根溯源，初中所学的多项式的乘法法则，是小学所学乘法对加法分配律而来。乘法公式的几何法解释除了印证代数法推导的合理解释外，更重要的是其中涉及的数学思想：数形结合。 公式的推导 1.平方差公式 (a-b)(a+b)=a²-b² 两数差与两数和的积等于这两数的平方差。 代数法推导 (a-b)(a+b) =()(a+b) =()a+()b =(a-b)a+(a-b)b =a²-ab+ab-b² =a²-b² 将第一个括号（a-b)视为一个整体，这个整体本文用（）表示，利用分配律，分配给第二个括号中的a，b。再次利用分配律，然后合并同类项，即得结果。以下公式的推导都是这种思路。 几何解释：如下图1，图2 图1是从边长为a的正方形中剪去一角（边长为b的正方形），图2由图1变化而来：将图1缺口处的矩形（长宽分别为a-b和b）剪下，然后放置到图2中的位置，拼成一个长宽分别为a+b和a-b的矩形。在这个过程中，图2和图1中的黄色部分的面积是相等的（等积变换）。 图2中黄色部分面积 =(a-b)(a+b) 图1中黄色部分面积 =a²-b² ∵图2和图1中的黄色部分的面积是相等 ∴(a-b)(a+b)=a²-b² 图3是图1到图2的动画演示 ---图3--- 2.完全平方公式 (a+b)²=a²+b²+2ab 两数和的平方等于这两数的平方和与这两数积的2倍的和。 代数法推导 (a+b)² =(a+b)(a+b) =()(a+b) =()a+()b =(a+b)a+(a+b)b =a²+ab+b²+ab =a²+b²+2ab 几何解释:如下图4和图5 图4是边长为a+b的正方形，图2由图1变化而来：从图1的正方形，垂直切两刀，将原来的正方形分成4块：两个正方形，两个一样的矩形。在这个过程中，图4和图5的总面积是相等的（等积变换）。 图4中正方形的面积=(a+b)² 图5大正方形的面积 =a²+b²+2ab ∵图4和图5的总面积是相等 ∴(a+b)²=a²+b²+2ab 即 两数和的平方等于这两数的平方和与这两数积的2倍的和。 特别地， (a-b)²=[a+(-b)]²=a²+(-b)²+2a(-b)=a²+b²-2ab 3.两数和的立方公式 两数和的立方公式，可以利用完全平方公式推导出来。 (a+b)^3 =(a+b)(a+b)² =(a+b)(a²+b²+2ab) =()a²+()b²+()2ab =(a+b)a²+(a+b)b²+(a+b)2ab =a^3+a²b+ab²+b^3+2a²b+2ab² =a^3+3a²b+3ab²+b^3 特别地， (a-b)^3 =[a+(-b)]^3 =a^3+3a²(-b)+3a(-b)²+(-b)^3 =a^3-3a²b+3ab²-b^3 4.立方差、立方和公式 立方差、立方和公式利用整体思想和分配律直接（仿平方差公式完成，留待感兴趣者自己完成），过程略去。 立方差公式 (a-b)(a²+b²+ab)=a^3-b^3 立方和公式 (a+b)(a²+b²-ab)=a^3+b^3 03--关于乘法公式的理解对乘法公式的理解可以分为三个层次： 1.文字含义和字母表示 2.整体思想 3.公式变形 4.公式之间的联系 理解的不同层次，决定后续阶段对乘法公式灵活运用的程度，这也反映了学习能力的不同水平。 比如， 平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b² 可以理解为：和与差之积=平方差 完全平方公式： (a+b)²=a²+b²+2ab 和平方=平方和+积的2倍 (a-b)²=a²+b²-2ab 差平方=平方和-积的2倍 公式变形： a²+b²=(a+b)²-2ab a²+b²=(a-b)²+2ab 公式之间的联系： (a+b)²-(a-b)²=4ab 关于公式中a，b的含义：公式中a，b虽然表面意思是两个“任意数”，其实它们不止是表示“任意数”，还表示“任意代数式”，这正是整体思想的体现，也是在后续运用最重要的一点。 比如，平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²中，如果把a，b分别理解为x+y与x-y，则 a+b=2x，a-b=2y， a²=(x+y)²，b²=(x-y)²， 因而4xy=(x+y)²-(x-y)²， 这样，又从平方差公式中，推导出两个完全平方公式之间的联系：两数和的平方比两数差的平方多4倍的两数之积。 又比如，如果把(a+b)²=a²+b²+2ab中的a理解为x+y，则又可以推导出三数的和平方公式 (x+y+b)² =(x+y)²+b²+2(x+y)b =x²+y²+2xy+b²+2xb+2yb =x²+y²+b²+2xy+2xb+2yb 04--结语乘法公式是初中代数中最重要的公式，它们也是后续内容，比如代数式求值，代数式变形，分解因式，解方程，二次函数等诸多内容的基础。可以毫不夸张地说，如果乘法公式不掌握好，后面的学习将寸步难行。同时公乘法式本身含义深刻，形式灵活多变。因此，在乘法公式的推导过程中，抓住整体思想和分配律，并用图形的等积变换加以解释。在公式的理解中重点从四个层次加以提升，特别要强调一句的是“整体思想”，在公式的理解和运用方面是重中之重，这一点尤其重要！ |
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