高一下学期小班------平面向量的概念及线性运算

平面向量的概念及线性运算

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．

(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

向量运算	定　义	法则(或几何意义)	运算律
加法	求两个向量和的运算	三角形法则 平行四边形法则	(1)   交换律： a＋b＝b＋a.  (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法	求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差	三角形法则	a－b＝a＋(－b)

3.向量的数乘运算及其几何意义

(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则

①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb.

4．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

1.下列命题中正确的是(　　)．

A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线

B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点

C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

D．有相同起点的两个非零向量不平行

2．判断下列四个命题：

①若a∥b，则a＝b；     ②若|a|＝|b|，则a＝b；

③若|a|＝|b|，则a∥b；    ④若a＝b，则|a|＝|b|.

正确的个数是(　　)．A．1  B．2  C．3  D．4

3.给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件（相互推出）；

③若a＝b，b＝c，则a＝c；

④若a∥b，b∥c，则a∥c.

其中正确命题的序号是(　　)

A．②③  B．②④  C．③④  D．②③④

4.给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；

③若λa＝0 (λ为实数)，则λ必为零；

④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中错误命题的个数为(　　)

A．1     B．2    C．3    D．4

5.D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．－＋         B．－－      C.－    D.＋

6.在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝（   ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.b＋c        B.c－b      C.b－c        D.b＋c

7．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)．

A.＝＋                 B.＝－

C.＝－＋               D.＝－－

8．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)．

                          

A．0                          B.          C.                            D.

9.如图，

D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则(　　)．

A.＋＋＝0

B.－＋＝0

C.＋－＝0

D.－－＝0

10在△ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)

A.a－b      B.a－b         C.a－b     D.a－b

11.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．

12．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________.

13.设两个非零向量a与b不共线．

(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．