 老师们： 四点共圆是一个经典问题，很多优秀老师都以此做为切入点发表研究文章。本文为您收集四点共圆问题的研究现状，尝试剖析作者的研究思路。 四点共圆问题有两个研究方向：求证四个点共圆和推导四点共圆的充要条件。以下从三个角度来梳理研究思路。 第一境界：掌握已有的解题技巧； 第二境界：剖析背后的思维方法； 第三境界：分享自己的研究成果。 纯几何角度 在小编多方查证下：四点共圆问题在80，90年代还曾入选过《初级中学课本_几何》中。（那个时候小编还没出生！所以对于更早的课本有没有四点共圆问题小编就不知道了，在网上只找到了89年版的）以下是该书中涉及证明四个点共圆的定理：      可以看出这些证明四点共圆的方法都是纯几何证法。在初中范围内，证明四点共圆的方法一般有7种[1]： 1， 圆的定义法：根据圆的定义“到定点的距离等于定长的集合为圆”。首先寻找圆心，之后去求出各点到圆心的长度。在高中遇到四点共圆问题时，很多学生和老师的思路也是如此。 2， 对角互补法：利用“如果一个四边形的对角互补，那么它内接于圆。”进行证明。找出四边形的一组对角，之后证明它们互补，进而得出四个点共圆。 3， 公共边法：利用“有相同边的两个三角形，且公共边的对应的角相等且在边的同一侧，那么这两个三角形内接于同一个圆”，进行证明。 4， 外角等于它的内对角法：找到一个角的外角和其内对角相等即可得证。其原理和对角互补法相似，不过多阐述。 5， 圆幂定理：圆幂定理即为相交弦定理，切割线定理和割线定理的统一形式。它的具体内容为：如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD。一般运用其逆定理证明四点共圆，很多高中老师都是运用圆幂定理去推导四点共圆的充要条件。 6， 证明四点组成的图形是矩形，等腰梯形等必有外接圆的图形[2]。 7， 托勒密定理：托勒密定理为“圆的凸内接四边形的对边乘积和等于对角线乘积”。运用托勒密定理的逆定理进行证明。 以上即为初中（30年前）常见的证明四点共圆的方式。虽然说现在这些定理推论都不教了，但是遇到四点共圆问题还是要用这些东西。名义上是减负，但是不会这些去证明四点共圆问题反而让学生感到更加困难。 那我们为什么要介绍四点共圆问题的纯几何方法呢？经过小编大量的阅读四点共圆方面的文章，发现很多老师的工作都是基于这些纯几何的定理推论。 解析几何角度 在高中知识点的范畴内，四点共圆问题很少有纯几何的题目（除了数学竞赛外[3]）。作为圆锥曲线的一部分，圆的问题一般都是紧密的和圆锥曲线联系在一起。更有很多老师不满足于研究这种退化的二次曲线，把四点共圆问题放到非退化的二次曲线背景去研究。 我们在前文中提到，很多老师都是基于圆幂定理来证明四个点共圆或者推导四点共圆问题的充要条件。我们再来看下圆幂定理： 如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD。 那么证明四点共圆问题时，我们可以先用四个点构建一个四边形并用代数式表示出两条对角线的方程之后和圆锥曲线联立。求得PA·PB和PC·PD的值，证明它们相等进而得证四点共圆。 四点共圆的充要条件的推导也是基于圆幂定理之上。这样推导的四点共圆充要条件为： 圆锥曲线上四个不同的点组成的四边形对角线倾斜角互补。 在证明四点共圆问题和推导四点共圆充要条件有一个小技巧就是可以用交点P建立两条对角线的参数方程。这样PA·PB和PC·PD的值可以用韦达定理得出，并且避免讨论直线没有斜率的情况[4]。  继续考察圆幂定理可以发现：保持四个点不重不漏，四边形可已作出三组相对的线段。那么基于圆幂定理，我们当然可以直接判断： 1. 四个点共圆则其组成的四边形的对边平行或倾斜角互补（两条直线平行时因为没有交点，所以无法用圆幂定理，下同）； 2. 四个点组成的四边形中的三组直线只要有一组直线的倾斜角互补（即四点共圆），则剩下的两组直线平行或倾斜角互补。 值得一提的是：张乃贵老师在其《圆锥曲线上四点共圆充要条件的研究》[5]一文中并没有假定四点已经共圆，而是直接给出我们上面的2个推论。在其证明过程中发现当抛物线上的四个点共圆时，它们的纵坐标之和等于0。即： 在姬士学，王恩权老师的文章中也给出了相同的推论[6]。这个条件是抛物线上四点共圆的一个充要条件。 在几何即圆幂定理的指导下，能做出的工作基本如此。各位老师可以试着计算下，反正小编是算的手软了。然而以甘志国老师为代表的一些老师并没有囤于前人的思路，反而从另一个角度来看待四点共圆问题[7][8][9][10][11]。甘志国老师通过构建曲线簇去找出一条经过四个点的圆的方程。这样做的好处使得计算大大的简便，并且绕过了圆幂定理这个“缺失”的知识点。比如说接下来这道题：  解题思路：  这种解法及背后的意义在我们上篇的文章都有讨论，请各位老师进入名师锻造公众号进行观看。 那么基于这种想法，我们设两条对角线的方程为： 若四点共圆，则可得出的结论为： 该条件为四点共圆的充要条件，我们发现它和圆幂定理得到的条件等价，但是圆幂定理可以快速的判断两组对边的倾斜角情况（该条件也可判断，但是需要一定的计算去判断组合后的圆的半径是否有意义）。在线性组合的思想下我们可以得出什么？ 两条圆锥曲线有4个交点，则这四个点共圆[8][11]。这在几何的背景下很难想到。（具体的证法各位老师可以观看我们本专题的视频） 当四点共圆时，其中的一边上的两个定点不断接近，考虑极限的情况，又可以得出什么呢？（答案当然在小编第一喜欢的甘老师四点共圆的视频中啦） 甘老师的工作都是基于退化的二次曲线上，那么在非退化的二次曲线上呢？这个时候二次曲线的方程变为： 在线性组合的思想下我们知道想要组合成圆的标准方程，则需要消去含有xy的交叉项，并且使二次项的系数相等且不为0。联立这两个方程组:  进行线性组合，当四点共圆时，我们可以得到： 同样的有四个交点的两条圆锥曲线，四点共圆的充要条件是： 通过圆幂定理进行推导，思路和退化情况没有差别，最后得出：  这些就是高中范围内四点共圆问题的常见推论和其思路。 高等数学角度 在求证四个点共圆的问题上，一些老师从矩阵的角度出发，给出只要其中有三个点不共线的四点满足下列矩阵即可共圆。 我们可以把圆的标准方程看做： 则该矩阵是关于圆的系数的四元一次方程组，若四点满足该矩阵，则证明方程组有唯一解，即四点共圆。这里要注意的是三点不能共线，否则可能解出A=0的直线方程（四点共线时）。在小编看文章时很多研究者忽略了这一点，广大老师需要注意。 而有一些老师把四点共圆放在复平面的背景下来考虑。复数表示角度简洁方便，自然就可以联想到用关于角度的定理去推导，在我们一开始介绍的纯几何证法有提到：如果一个四边形对角互补，则这个四边形内接于圆。那么基于这个证法，复平面下的四点共圆充要条件的推导思路如下[12]： 这里有两点需要注意： 一是下面这个式子的顺序： 要注意好谁做分子，谁做分母。分子分母上下顺序相反会造成旋转角度相反，在阅读一些关于复平面四点共圆的文章时，有的老师上下顺序便弄反了。 二是小编设四点交代了四点的顺序，所以证明会简单，不用讨论角1和角3的位置关系，有些老师没有像小编这样取巧，证明的思路会更复杂些，但是最后的结论是一样的[12]。 以上便为四点共圆问题的研究现状，感兴趣的老师可以根据我们罗列的参考文献找到相应文档资料。当然甘志国老师已将研究成果以视频教学形式完整展示出来，想探究甘老师解题思路的您赶快来观看专题视频吧！地址在评论区留言！ 参考文献 [1] 陈新星,赵启鸾.四点共圆判定定理证明归纳[J].中学教研,1984. [2] 戴浩池.点的共圆证明浅谈[J].云南教育,1981:42-43. [3] 黄志军.高中数学竞赛中的几道四点共圆题[J].中等数学,2014(7):2-6. [4] 姜坤崇.标准二次曲线上四点共圆的充要条件[J].中等数学,1984(5):9-10. [5] 张乃贵.圆锥曲线上四点共圆充要条件的研究[J].数学教学,2012(7):7-8. [6] 姬士学.王恩权.抛物线上四点共圆的一个充要条件[J].中学数学月刊(苏州),1997(1):24-25. [7] 甘志国.对一道高考题的研究[J].数学通讯,2005(22):21. [8] 甘志国.二次曲线上的四点共圆问题的探究[J].数学通讯,2013(7):40-41. [9] 甘志国.简解二次曲线上的四点共圆问题[J].数学教学研究,2015(8):64-65. [10] 邹生书.构建曲线系方程简解四点公园问题[J].河南理科教学研究,2012(5):40-41. [11] 徐有详.圆锥曲线四点共圆充要条件的统一证明及简单拓展[J].数学教学,2013(1):27-28. [12] 戴丽萍.四点共圆的一个复数形式条件[J].中等数学,1992(2):27 |
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