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高考数学:圆锥曲线中99%的同学都不知道的巧妙解法

2017-03-12  许兴华数学

(责编/南宁许兴华)


同学们应该都知道,圆锥曲线上四点共圆问题在高考中屡见不鲜,这类试题将圆锥曲线与四点共圆有机地结合在一起,重点考查运算求解能力和推理论证能力, 由于问题综合性强、运算量大,大多考生望而生畏,甚至谈“圆”色变,不得不选择放弃. 笔者曾在文【2】中介绍了构建曲线系方程来处理圆锥曲线上四点共圆的有效方法, 在文【3】中给出了圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件,并用直线的参数方程分别对椭圆、双曲线和抛物线三种情形一一进行了证明,本文笔者再用曲线系方程给出这个充要条件的统一证明,并用这一充要条件来“秒杀”圆锥曲线上四点共圆的高考难题和数学问题.

先用曲线系方程来解决圆锥曲线上四点共圆的一道高考难题,体验曲线系方程解题的方法和魅力.题目如下:

这是2014年高考全国大纲卷文科第22题、理科第21题,第二问就是一道抛物线上四点共圆问题,参考答案给出的解答是一种常规解法,但运算量非常大,下面我们借助曲线系方程来巧解这道难题.

下面我们先用曲线系方程给出圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件的统一证明,再用这个充要条件解决有关试题.

上述定理用文字表述,即斜率均存在的两条直线与圆锥曲线(圆除外)有四个交点,则四个交点共圆的充分条件是两直线的斜率互为相反数.这是一个非常简洁的充要条件,运用这个定理可解决圆锥曲线上四点共圆的

高考难题和数学问题.

对于上面这道高考题的第二问, 用定理可简解如下:

简解: 由定理知直线CD的斜率k为-3,故选B.

(Ⅱ)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点,那么A、B、C、D在同一个圆上,为什么?

【简解】: 因为直线AB的斜率等于1,所以AB的垂直平分线CD的斜率等于-1,两直线斜率互为相反数,由定理知A、B、C、D四点共圆.

曲线系方程是高中数学课本中的内容,用曲线系方程可以有效地解决圆锥曲线上四点共圆难题,解法不仅能被高中生接受和掌握,也能得到高考阅卷人的肯定和点赞,解答题用曲线系方程作答最好.对于选择题或填空题,由于不需解题过程,若能用本文定理求解效果最佳,往往可以一剑封喉而秒杀之.(文/邹生书)


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