高中数学 | 高中学习阶段三种重要的函数模型

一、指数函数

例1、如图是指数函数的图象，则与1的大小关系是（  ）

A. 

B. 

C. 

D. 

分析：解本题的关键在于令x＝1，这样一来，比较与1的大小关系就变成了比较四个函数的函数值与1的大小关系了。

指数函数的图象恒过点，作出直线与交点的纵坐标，即为对应的指数函数的底数，靠上的点对应的数值大，则底数较大。

解析：在同一坐标系中作出四个指数函数的图象，并作出直线的图象，且它与指数函数图象有交点，则交点纵坐标就分别是，从图中可以看到它们由上至下依次变小，故正确选项为B。

 

例2、当时，的值总大于1，则实数的取值范围为（  ）

A. 

B. 

C. 

D. 

分析：将看作一个整体，借助指数函数的图象与性质来解决。“整体法”是代数的基本方法之一，要熟练掌握。

解析：作出两条指数函数图象，如图所示。

当时，的值总大于1，

作直线与，的交点，则其在轴上的投影的对应值为，由图象可看出，

于是，解得，故选D。

 

二、对数及对数函数

例3、已知＝，54^b＝3，用的值

分析：先根据对数的定义求出b，再利用换底公式将表示成以54为底的对数。

先将指数化成对数，再由对数的运算性质和换底公式计算结果是解决这类问题的常用方法。

解析：由＝3得＝b

∴＝＝

 

例4、已知函数，讨论的奇偶性。

分析：计算，由，据此判定的奇偶性。

若，则为奇函数；若则为偶函数。

解析：由

解得函数的定义域为，

且。

即，所以函数是奇函数。

 

例5、求函数的单调区间。

分析：先求出的定义域，再利用复合函数的单调性的判定法则求解。

对于复合函数的单调性问题，要分两步进行：第一，先考虑定义域；第二，再考虑单调性，在这一步中，要注意复合函数的单调性的判定法则（同增异减）。

解析：由或，得函数的定义域为。

设，则

，在上单调递减，

又由在上单调递减，在上单调递增。

在上单调递增，在上单调递减。

 

例6、已知函数

（1）定义域是R，求m的取值范围；

（2）值域是R，求m的取值范围。

分析：在已知对数函数的定义域是R与值域是R，求其中参数的取值范围时，要注意它们是有明显区别的。解本题的关键在于通过对图象的分析，理解到对数的值域为R，则定义域必须从零开始。

解析：（1）因为函数的定义域是R，故而对任意有恒成立。

1）m＝0时，有 不恒成立，与题意矛盾。故舍之；

2）时，由二次函数的性质可得：

综上，

（2）因为函数的值域是R，

故而有

 

三、幂函数、指数函数和对数函数的综合

例7、已知函数的图象沿轴方向向左平移1个单位后与的图象关于直线对称，且，则函数的值域为         。

分析：先求出函数关于直线对称的函数，再向右平移回去，得到的解析式，进而求出，最后求值域。

底数相同的指数函数与对数函数关于对称，它们之间还有一个关系式：_。

解析：函数关于直线对称的函数为。

向右平移1个单位得到，。

∴。

∴。

∵。

例8、已知函数，。

（1）证明：是奇函数，并求的单调区间；

（2）分别计算和的值，由此概括出涉及函数和的对所有不等于零的实数都成立的一个等式，并加以证明。

分析：对第（1）问，应先求定义域，如果有多个区间，其单调性要分别讨论。第（2）问是一道归纳题，要经历观察，归纳，猜想和证明的全过程。奇函数在其关于定义域对称的两个区间内单调性一致；偶函数在其关于定义域对称的两个区间内单调性相反；类似这样的性质平时要注意积累，对解题会有很大的帮助。

解析：（1）证明：∵函数的定义域关于原点对称，

又，

∴是奇函数。

设，且、，则

。

∵，，∴，

∴在上单调递增。

又∵是奇函数，∴在上也是单调递增。

  故的单调区间为和。

  （2）解：计算得，。

  由此概括出对所有不等于零的实数有。

  ∵

＝0，

∴。