高一预科-----2.11指数与指数幂的运算

2.11指数与指数幂的运算

一、复习引入：

1．整数指数幂的运算性质：om]

2．根式的运算性质：

①当n为任意正整数时，()=a.

②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.

⑶根式的基本性质：，（a0）

用语言叙述上面三个公式：

⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.

⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.

⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.

3．引例：当a＞0时（根式化成分数指数幂）

①                                ②

③                                 ④

二、讲解新课：

1.正数的正分数指数幂的意义      (a＞0,m,n∈N^*,且n＞1)

要注意两点：1.分数指数幂是根式的另一种表示形式；2.根式与分数指数幂可以进行互化.

另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.

2.规定：

(1) (a＞0，m,n∈N^*,且n＞1)

(2)0的正分数指数幂等于0.

(3)0的负分数指数幂无意义.

规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有以下运算性质.

3.有理数指数幂的运算性质:

 

 

说明：若a＞0，P是一个无理数，则表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.

三、讲解例题：

例1                                          

                                         

例2用分数指数幂的形式表示下列各式：(式中a＞0)

例3.用根式的形式表示下列各式(ａ＞０)

 

例4.用分数指数幂表示下列各式：

(1)                        (2)（ａ＋ｂ＞０）

 

(3)                   (4)（ｍ＞ｎ）

 

(5)（ｐ＞０）           (6)

 

例5.计算下列各式（式中字母都是正数）（教材52页例4）

                        

 

 

例6计算下列各式：