中级数学8-根式

• 根式

• 有理指数

• 根式的加、减、乘运算

• 根式的除运算

• 根式方程及函数

• 复数

根式

基础部分简单的介绍过平方根：一个实数n乘以它自身，即为n的平方，n是平方根。

m是n的平方，n是m的一个平方根

同时，一个正数有两个平方根有---一正一负。如：13、-13都是169的平方根。其中的正根为主根，可写作

符号是根号，读作根号m

0只有一个平方根，即0

负根在根号前加负号即可。负数的根不在实数范围暂不讨论。二次及更高次幂的读法

根式

所有正数的幂都为整数，而负数的偶数次幂是正数，奇数次幂是负数。

高次幂的根式

• 当指数n为偶数且a≥0时，根式的值是实数

• 当指数n为奇数且a<0时，根式的值为非实数

• 当指数n为奇数时，根式的值都为实数

我们知道一个数为非完全平方时就无法得到根的准确值，但通过前后两个完全平方数来估计它的区间。如：

11的主根范围在(3,4)之间

• 当n为奇数时

恒成立

• 当n为偶数时

a＜0时不成立

但如下等式恒成立

n大于等于2

根式的化简：找基数a中是否存在一个数的n次方的因子

如：根号12中存在4可以用2的平方表示，所以可以化简为2乘以根号3

在指数乘法中，有

所以在相对应的根式中

n大于等于2

有理指数形式一般都可以写成根式表示。我们知道

假如指数形式的幂不限于整数，如

这里我们要得到p的值。

所以在n≥2时

幂中有理数形式指数的分母是根式的指数

幂中指数为负数，则对应根式是指数为正数时根式的倒数

指数为一般有理数形式对应根式

幂的乘除性质总结--同样适用根式形式

根式的加、减、乘运算

根式加减将有相同基(被开方数)和相同根指数的项系数相加减。有相同基和相同根指数的项为同类根项。被开方数能被分解成不同因子且部分因子能被根式完全开方，将该根项化简。

根式的除运算

运算过程中等式两边相互转换

含根式的表达式在化简后有理式分母中含非完全平方数或不能被开方的项，即分母出现无理数或项，导致后续使用很不方便。因此就有了分母有理化，把非完全平方的数或不可开方的项转换为整数或有理式。

根式方程及函数

根式中被开方项的表达式中含变量的等式，即根式方程。解根式方程目标

• 将根式放在方程的一边，有理式放在另一边

• 方程两边提升指数，去掉根式

升指数去掉根式

同根式方程，根式函数是含根式的函数

• n为偶数且x≥0，f(x)值域在实数范围

• n为偶数且x＜0，f(x)值域不在实数范围

• n为奇数，x为任意实数时，f(x)值域都在实数范围

根式函数图像

二次根式

三次根式

根据性质求根式函数定义域范围

复数

被开方数为负数，而根式指数为偶数时，我们知道它的值不是实数，那么它是什么数呢？数学家为了需要将数域进一步扩大到复数。首先，复数概念需要了解虚数--i。虚数i的平方是-1

单位虚数的定义

那么，b为正实数时

复数是实数的进一步扩展，用 a + bi 表示(a，b是实数)：a为实部，b为虚部。

• b=0，a + bi = a，即是实数

• b≠0，a + bi 是虚数

• a=0，a + bi = bi 是纯虚数

复数加减法是实部、虚部分别相加减。复数乘除可参照二项式的乘除法则处理，但要注意i不同次数对应值

i 的次数为1、2、3、4的倍数对应值分别与1、2、3、4次的值相同