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总有人来问我，自然数求和等于多少？ 叉叔今天来跟你们做个了断吧！
不知道从何时起，微博上刮起了一股歪风： 所有自然求和等于-1/12！ 我第一次看见有人来问我的时候，我的心情是这样的： 在嗤之以鼻并无视了n个人问我这个问题后，我突然意识到：nnd，不会是和我头像有关吧？ 在意识到这个问题后，查阅了一下，果然，你们都中招了！ 然而还有源源不断的人来问我，为什么等于-1/12，作为一个军事博主，我觉得有必要写点什么，然觉笔重千钧，对曰：若得闲必解之。 夫致仕还乡，居江湖之远。几欲出世然世所不弃。算学之妙，妙在自洽二字。彼时为圆则此刻不为方也。换句话说，你初中的时候说所有正数的和一定是正数，那么大学的时候这个结论仍然是对的。 所以说：自然数的和等于负数必然是个错误的结论！ 那么为什么是-1/12呢？ 这个就要从我的前世——黎曼说起。 黎曼是个不可多得的数学天才。在我看来，他的天分之高，都快赶上他老板高斯了。只不过黎曼过于短寿，几乎只有高斯一半多一点的岁数。如果他能活过70，那么后面很多的数学家就可以换工作了。 黎曼的工作几乎都是开创性的，而且他应该是数学史上计算能力最强的数学家。黎曼的天赋之高，连高斯都是叹服的。事实上，黎曼留下的数学稿里面蕴藏了几乎无限的宝藏，每次仔细阅读都会有不同的收获。 爱因斯坦这么牛叉的人物，在创立相对论的时候使用的最重要的数学工具就是黎曼几何——听这名字就知道这几何是黎曼搞出来的。 在黎曼所有伟大成就中，最伟大的一项自然是黎曼猜想。 看见上面那个鬼画符一样的东西没？黎曼猜想就是说：上面这个函数所有的零点都在Re(s)=1/2的直线上。 这个要是能证明出来，应该可以名列历史上最强数学家前三了。。。 所以，上微博的就别做梦了，嗯，包括我，毕竟上一世正统黎曼自己也没搞定。。。作为当世黎曼的我也就不想了。虽然嘴里嚷嚷着要做黎曼猜想，但是我的内心是： 言归正传，我们注意到，上面这个函数当s=-1的时候，就变成了我们开头提到的自然数求和了，但是这个-1/12是怎么来的呢？诶，这帮人啊，炫完了就管杀不管埋，这个屁股贼老师来擦了。 我们把无穷多的项的求和结果分成两种情况：一种叫收敛，一种叫发散。所谓收敛就是指和越来越趋向一个固定的数，反之就是发散。 比如1+1/2+1/4+……+1/2^n+……这种就是收敛，趋向于2； 而所有自然数的和显然是发散的，这是小学常识，后面的知识不能和前面的起冲突。。。 好好好，我现在就告诉你-1/12哪里来的，不要着急，这些都是必须的基本概念。。。这都听不懂还想明白-1/12？ 我们注意到，如果是无限多的函数求和，那么和数项就不一样了。随着s的取值的不同，这些函数和可能发散，可能收敛，而发散的情况是我们所不要的。 就像黎曼函数里，当s小于等于1的时候，这个和就发散了？怎么办？ 我们有特别的技巧！ 这里特别的技巧叫解析延拓（不要在意这些细节），延拓完了以后，函数变成： 不要在意这些细节，again！ 这个函数当s>1的时候，就是前面的表达式；而当s<=1的时候，它是收敛的，我们叫这个函数为zeta函数。 接下来是见证奇迹的时刻： 当s=1时，1式的结果是发散的，是所有自然数求和；而2式的结果是收敛的，等于-1/12，是1式解析延拓以后的值，也就是说： 丫偷换了概念。 西瓜是水果，香蕉是水果，所以西瓜就是香蕉，嗯，他们就是玩了这个把戏。 解密结束。置顶一段时间。 复问之，杖毙不赦。 |
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