黎曼关于数论的论文写了什么

数学家的思维已经大大领先我们常人。事实上，我们甚至理解不了数学家几百年前发表的论文，这也是其它学科比较少见的。而且这个差距还越来越大，我们这个时代的数学家不知道要过多少年才能真正使普通人理解他们证明了什么，怎么证明的。21世纪的今天，虽然资讯发达，资料的获得比较容易。但似乎大家的数学水平不但没有提高，反倒有下降的趋势。大家沉迷于花边新闻，娱乐八卦，能够发财的经济观点，或者似是而非的所谓励志鸡汤，就是对数学知识不愿意花功夫和脑力。多数人都幻想着无脑的岁月静好，只可惜很多人的岁月静好往往被无情的现实撕得粉碎。如果大家都勤于思考，也许我们这个社会会完美得多，而数学是锻炼人思考能力的重要工具。

大家好，伟岗今天跟大家聊聊关于黎曼那篇小论文的一些数学知识，这些数学知识都非常深奥，不过我们稍微动动脑筋还是可以掌握其中的一些精髓。我们并不追求一下子达到数学家的水平，但是平时动动脑筋，思考思考一些数学问题对我们的精神和身体都有非常大的好处。

文章开始前，还是感谢朋友同学的鼓励打赏，这让伟岗的写作越来越有洞察力。

我们前面讲过，黎曼那篇小论文被誉为历史上最伟大的数论论文。它只有短短的10页（很多文章说黎曼的这篇论文是8页，估计那是指德语原文。伟岗手上有这篇论文的英文版，有10页。不过第一页是封面，所以正文是9页）。黎曼是德国人，当然原文是德语，不过网上有英文翻译版，似乎没有中文版。

说实话，伟岗这篇论文也读不懂。后来在网上找了很多分析这篇论文的资料，才慢慢了解了一些关于这篇论文的信息，当然离读懂这篇论文还差很远，不过还是可以从中学到一些数学知识。

黎曼这篇论文的名称叫：关于小于一个固定量的素数个数（英文名叫：On the Number of Prime Numbers less than

a Given Quantity）。从这个标题我们可以看出这篇文章是想计算出小于某个正整数的素数的数量，我们前面讲过就是计算π（x）的值。

黎曼的思路是通过zeta函数来估算π（x）。由于zeta函数的收敛范围有限，所以第一步黎曼就对zeta函数做了解析延拓，这个就差不多用了两页，也就是整篇论文的4分之一，所以是很重要的一步。

解析延拓是复分析的重要内容。复分析在数学家眼里甚至比微积分还重要。复分析也就是复变函数论，它被称为19世纪的数学享受，甚至被认为是抽象科学中最和谐的理论之一。法国数学家阿达玛有句名言：实数域中两个真理之间的最短路程是通过复域。黎曼更是复分析的高手，他在黎曼几何中用了很多复分析手段，这些手段都是黎曼的首创，所以后人为了纪念黎曼的贡献，把常规积分命名为黎曼积分。

把复分析用到数论上，从高斯就开始了。不过公认的鼻祖是黎曼和狄利克雷。黎曼和狄利克雷创立了一门崭新的数学学科：分析数论，就是用分析手段解决数论问题。而黎曼这篇小小的论文可以说是分析数论的起点之一。

复分析中的解析延拓是为了扩展函数的定义域，也就是说当出现函数在某些点无法计算甚至不存在时，数学家改变函数的计算方法，使得这些点上的函数值仍然可以计算。当然这些改变是有条件的。第一条就是单一性，也就是说，函数值是唯一的。另一条就是保持函数的解析性能不变。这一条是关键，也是解析延拓的难点。

我们普通人首先要理解什么是函数的解析性。这个也有难度。粗略地讲，所谓解析都是跟微积分有关的运算，函数在一个点可微性是函数能够解析的起点。所以解析延拓要保证整个函数的解析性能，必须在任何点上都是可微的（也就是可以求微分）。其次解析延拓要保证函数的解析性能，就必须满足所谓的柯西-黎曼方程，这也是必要条件。我们一般人没必要去深究什么是柯西-黎曼方程，我们只要知道解析延拓必须有一些微积分方面的限制就可以了。

按照伟岗的理解，数学家的思维比我们普通人要深远很多。微积分运算就是一个很好的例子。我们普通人一般只能理解简单四则运算关系，而数学家把数于数的关系上升到微积分这个层次，在那个层次上体现的性质有其独特的地方，这也是解析延拓的一大意义。

一般复分析中解析延拓是以gamma函数为起点介绍的。Gamma函数简单地讲就是阶乘的扩展。我们知道，阶乘运算只对正整数有效，也就是说4的阶乘（一般用4！表示）等于4X3X2X1，6的阶乘（一般用6！表示）等于6X5X4X3X2X1，正整数n的阶乘（一般用n！表示）等于nx(n-1)x(n-2)……x2x1。但是分数或者负数甚至复数的阶乘就没有定义了，这时gamma函数就出现了。不太准确地说，gamma函数就是阶乘运算的解析延拓。因为相比较zeta函数，gamma函数稍微简单一些，所以数学家喜欢拿它做例子。

无论是gamma函数还是zeta函数，它们的解析延拓在我们普通人眼中都会产生一些奇怪的结论。比如分数的阶乘是负数，全体自然数的和是负数等。这个现象还不好解释。

按照伟岗的理解，所谓解析延拓改变了函数的计算公式，这包含两层意思，第一层意思是由于定义域的扩展，原来不能计算的定义域，现在可以用新公式计算了，比如原来分数的阶乘不能计算，现在经过解析延拓后可以计算了。第二层意思就是原来的分数阶乘也不是严格定义的分数阶乘，也就是说对分数的阶乘运算只是阶乘运算的解析延拓，而不是直接阶乘运算。或者说，只是解析性质得到保持，而不是阶乘运算的一切都保持。这样分数的阶乘等于负数，意味着等于负数的不是严格意义的分数阶乘。用zeta函数为例的话，解析延拓后全体自然数的求和，也不是我们想象中自然数的求和，是自然数求和经过了延拓变换，这样等于负数，也就是可能的了。

当然这个解释不是特别有说服力。毕竟阶乘运算的解析延拓本质还是阶乘运算，计算出现异常，里面肯定有什么玄机，不过现在数学家还没有参透里面的奥秘，所以暂时被搁置。

我们再回到黎曼的论文上。黎曼对zeta函数做了个解析延拓，目的是为了利用欧拉公式，而这个欧拉公式把zeta函数的求和运算跟素数的连乘运算联系起来，这是黎曼把zeta函数用到素数研究的基础。

上图就是欧拉公式，虽然这里把zeta函数的求和用素数的乘积来表示了，但是离计算素数的个数还有十万八千里的距离。黎曼从这里出发，得出了素数估算公式，其中用了很多微积分的变换，这些都超过了伟岗的理解范围。

不过经后人总结，黎曼这篇论文有以下几个思路。最关键地是，黎曼通过微积分演算，找到了这样一个函数的计算方法（说得准确一点是估算方法）。这个函数黎曼命名为J（x）。这个J（x）跟素数个数有了关系，它是一个阶梯函数。也就是说取一个一个的间断的数值。当x跨过一个素数，J（x）就增加1，x跨过一个素数的平方，J（x）就增加二分之一，以此类推，当x跨过一个素数的n次方，J（x）就增加1/n。这样素数个数就跟J（x）挂上钩。而J（x）通过黎曼的运算，跟zeta函数有了一些积分级的运算公式。

有了积分级的运算公式，通过一些逼近的计算手段，我们就可以估算出素数的个数，这就是黎曼论文的主要目的。不过后来数学家从黎曼的字里行间中找到了黎曼猜想，这才是黎曼这篇论文成为历史上最伟大的论文的主要原因。

说老实话，一般人还很难从黎曼这篇论文中找到黎曼猜想（伟岗就没有找到）。论文有个地方，黎曼令零点的实部为二分之一，这是伟岗能够发现跟黎曼猜想有关的全部内容。可能要理解了黎曼的论文才能从论文中找到黎曼猜想。

数学家找到了黎曼猜想，就开始分头行动。一部分人埋头找零点，一部分人试图证明黎曼猜想。而更多的数学家是假设黎曼猜想成立，去寻找可以证明的定理，据说这些定理个数已经上万了。可见黎曼猜想的威力。

总体讲，黎曼借助自己强大的分析能力，硬生生的从zeta函数出发，通过一系列的积分微分运算，终于得到了一些关于素数个数估算公式的结果，同时找到了黎曼猜想这样有深远意义的数学规律（当然还有待证明）。本来zeta函数是欧拉定义的，主要是为了求级数的和。黎曼把欧拉的zeta函数解析延拓后，变成黎曼zeta函数。从这一点出发，通过复分析手段，最终得到素数个数的估算公式。黎曼甚至还用到了傅里叶展开式，可见黎曼数学知识的博大精深。

数学在19世纪末，可以说是复分析的黄金时代。数学家慢慢认识到复数的威力。一个小小的根号负一竟然能引起数学上的革命，这也是任何古代数学家不可想象的。从几何上讲，复数把实数轴扩展到了复平面，这样的跨度非常大。尤其是对微积分这个工具来讲。可以说有了复平面，数学家眼中的世界大大地不同了，微积分的运算也有了很多全新的规则和思路。解析延拓就是其中的一项。我们仅仅从解析延拓中，就可以了解到复分析的复杂和现代数学向深奥进军的步伐。我们普通人想不想，要不要，能不能跟上数学家的思维，也慢慢成为大家思考的严肃问题。

好了，今天篇幅也够长了，暂时写到这里，文章结尾，还是要感谢朋友同学的鼓励打赏，多谢了！！

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