高中数学：三次函数的性质及应用

三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。2004年高考，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是湖北卷以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视。单调性和对称性最能反映这个函数的特性。下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。

函数的导函数为。我们不妨把方程称为原函数的导方程，其判别式。若，设其两根为，则可得到以下性质：

性质1：函数，

若，当时，y＝f(x)是增函数；当时，其单调递增区间是，单调递增区间是；

若，当时，是减函数；当时，其单调递减区间是，，单调递增区间是。

（证明略）

推论：函数，当时，不存在极大值和极小值；当时，有极大值、极小值。

根据a和的不同情况，其图象特征分别为：

图1

性质2：函数若，且，则：

；

。

（证明略）

性质3：函数是中心对称图形，其对称中心是（）。

证明：设函数的对称中心为（m，n）。

按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以

化简得：

上式对恒成立，故

，得

，

。

所以，函数的对称中心是（）。

可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点。

下面让我们来体会一下如何应用这些性质快速、准确地解答问题。

例1. 设是函数f(x)的导函数，的图象如图2所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（ ）

图2

图3

解：根据图象特征，不妨设f(x)是三次函数。则的图象给出了如下信息：

①；

②导方程两根是0，2，（f(x)对称中心的横坐标是1）；

③在（0，2）上；在（－，0）或（2，）上。

由①和性质1可排除B、D；由③和性质1确定选C。

例2. 函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）

A. 1，－1

B. 1，－17

C. 3，－17

D. 9，－19

解：函数的导方程是，两根为1和－1，由性质2得：

，

。

故选C。

例3. 已知函数在x＝±1处取得极值。

（I）讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；

（II）过点A（0，16）作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程。

解：（I）因为，所以导方程。

因为在x＝±1处取得极值，所以，是导方程的两根，

所以

解得 a＝1，b＝0

所以 

由推论得是f(x)的极大值；f(1)＝－2是f(x)的极小值。

（II）曲线方程为，点A（0，16）不在曲线上。

设切点为M

因为，故切线方程为

点A（0，16）在切线上，所以

解得，切点为M（－2，－2）

故所求切线方程为

例4. 已知，函数的图象与函数的图象相切。

（I）求b与c的关系式（用c表示b）；

（II）设函数在（）内有极值点，求c的取值范围。

解：（I）依题意，，得

，

所以

因为

所以

（II）因为

所以F（x）的导方程为：

依性质1的推论得：

所以 ，

所以 或

解之得

故所求c的范围是（0，）（）。

纵观以上事例，只要我们掌握了函数的三条性质，在高考中无论是容易题、中档题还是难题，都能找到明确的解题思路，解题过程也简明扼要。尽管如此，我们还要进一步加强对三次函数的单调性、极值、对称性、图象变化规律、切线方程等性质的研究，这也有助于提高对知识系统性的理解水平，拓宽解题思路。