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（这是1978年8月撰写的第二稿） 同志，你知道什么是辩证法吗？你知道学习辩证法有什么用处吗？如果你对辩证法的学习感兴趣的话，那么，不妨让我们一起在学习辩证法的过程中，摘下这颗挂在数学皇冠上的明珠，从理论上证明哥德巴赫猜想的成立。 客观上不存在的事物（如上帝），尽管在理论上可以被捏造出来。然而，一经实践的检验就会被打得粉碎。因此，作为我们研究、分析问题的基本出发点是客观实在。从实际出发，实事求是，这是唯一正确的认识路线。 哥德巴赫提出的“偶数为两个素数之和”这个猜想有没有客观性呢？我们知道，从它的提出来讲就是来源于实践。在实践中人们发现了这种关系：一个偶数可以表示为两个素数之和，于是人们自然而然地联想到，是否一切偶数都可以表示为两个素数之和呢？如果能够的话，那么我们在理论上应该怎样证明它呢？从这里我们可以得出如下结论：偶数为两个素数之和必须是客观存在的（事实上它也确实是客观存在的）。它的客观性是由实践来检验的，理论上的证明是在实践的基础上进行的，假若在客观实践上不存在这种关系，也就不会提出这个猜想，或则即便是违背客观实际而提出了这个猜想，也必然会被人们实践检验的结果所推翻。鉴于哥德巴赫猜想已经被实践检验了亿万次并不曾被推翻过，这个铁的事实告诉人们，哥德巴赫提出的这个猜想所涉及的偶数与素数之间的关系是客观存在的，它具有客观性，是一种客观的关系而不是人们主观上任意编造的。因此，我们就可以在理论上科学地论证这种关系的必然性，而证明的方法却使数学家们感到意外，它不能用数学上的方法，只能用辩证法。 然而，在当今哥德巴赫猜想已经被数学家们推到了皇冠上的明珠之位上的时候，我们有些同志一听到要证明它，便摇摇头说：“这不可能。连门也没有。咱们连什么是素数也不懂，怎么能解决这个问题呢？这不是跟骑着自行车上月球一样——痴心妄想吗？但是，我劝这些同志不要先打退堂鼓。毛泽东说：世上无难事，只要肯登攀。不会我们可以学，不懂我们可以问。虚心向内行人学习。在科学上是从来也没有什么禁区的。为了使具有普通常识的人都能掌握它，都能读懂这个证明，所以我尽力把证明通俗化，并把这个证明作为学习辩证法的普及读物献给读者。然而，这样做的结果就会使本来很简单的证明变得冗长了。我希望对此有兴趣的同志们能够耐心地看下去，以求对其中的不当之处给以指正。 一、什么是哥德巴赫猜想 在徐迟的报告文学中写道：1742年哥德巴赫写信给欧拉时，提出了“每个不小于6的偶数都是两个素数之和”。这就是著名的哥德巴赫猜想。 为了弄明白这个猜想，我们首先要弄明白什么是偶数，什么是素数，以及与它们有关系的奇数与合数的概念。 偶数：大家都比较熟悉，就是平日所说的双数，如2、4、6、8、10等。那么与双数即偶数相对立的是单数，在数学上把单数叫做奇数，如1、3、5、7、9等。 那么什么是素数呢？素数就是：凡大于1的整数，除本身和1以外，不能再被其它数所整除的数，如2、3、5、7、11、13等。素数也叫质数。通俗地讲，素数就是不能再分解的数。在数学上通常用符号P来表示。与素数相对立的数叫做复合数或合数。它的定义是：可以分解为两个或两个以上素因子（即素数）乘积的数叫合数。如4=2×2 6=2×3 9=3×3 15=3×5 8=2×2×2 27=3×3×3 以上列举的4、6、8、9、15、27等这些数都称为合数。 在实践中人们发现：6=3+3 8=3+5 10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=3+13 18=5+13 20=7+13 22=3+19…… 这就是说，一个偶数是可以用两个素数之和来表示的。于是人们就提出了一个问题：是不是每一个不小于6的偶数都可以分解为两个素数之和呢？由于偶数有无限多个，要从理论上证明这无限多个偶数都可以分解为两个素数之和，困难就在于“无限多个”，或者说，就在于“一切”偶数。 那么，到底有多少个素数呢？对于这个问题，欧几里得早已用数学方法证明了“素数之个数无限”。就是说，素数也有无限多个。他的证明很简单：如果说只有有限多个，那么就可以把它们统统写出来，记为P1、 P2 ……Pn,此外，再也没有更大的素数了。然而，P1×P2 …… ×Pn+1或者是一个素数，它显然比一切P1、 P2 ……Pn都大，或者它包含比这些素数都大的素数因子。不论那种情况，总有更大的素数存在。这样便发生了矛盾。因此，只有有限多个素数的假设是错误的。（证明抄自王梓坤《科学发现纵横谈》中《物体下落，素数及哥德巴赫猜想》一文）显然，它的证明方法是用反证法。 从数量上看，素数与偶数一样，都有无限多个。那么，它们在整数中各自占有多大比例呢？我们知道，偶数与奇数在整数中的比例是各占一半，都是50％.由于凡是偶数都可以被2整除，所以一切大于2的偶数都不是素数。这就是说，要判明是否为素数就必须在奇数中去寻找。在奇数中我们又发现除5以外，凡末尾数目字为奇数5的数都可以被5整除，所以这些数也都不是素数。这样的数共有1/5.占整数的10％.这样我们就得到余下40％的奇数，在这余下的40％的奇数中，能够被3整除的数共有1/3，判断的方法为数字和定律。凡各位数目字之和等于3或3的倍数的数都可以被3整除。这样，余下的数只占整数总数的26.67％.在这余下的26.67％的奇数中，还要去掉能够被7、11、13、17、19……等其它素数整除的数，经过这样抛掉的结果，所剩余的素数就不多了。占总数的百分比也就很小了。如果我们把一万以内的素数以千为单位进行一下统计的话，可以得到如下结果。
如果我们进一步统计下去，则会发现素数的比例将会趋向于越来越小，但是永远不能为0.因为素数有无限多个。 对于这一推论的正确性，我们还可以摘引一个统计表来加以证实：
从这张表上我们可以看出，随着数值范围的扩大，素数的数目相对减少了，但是，并不存在素数的终止点。 由此可见，素数在整数中只占很小的比例，而要由这比例很小的素数组成占有一半比例的所有偶数，并且必须保证每个偶数都只能由两个素数组成，这个问题如果单从数量分析上来证明，确实是不容易的。由于这个问题自1742年哥德巴赫提出以后，直到现在已经历时二百多年了，始终没能得到解决，所以数学家们就把它称为数学皇冠上的明珠。这主要是因为它对于数学家们来讲非常困难的缘故，而不是由于这个猜想有什么神秘的地方。偶数为两个素数之和，只要我们弄明白什么是偶数及素数，那么，这个猜想就会很容易懂。然而，对于这样一个涉及到偶数与素数之间相互关系的简单命题，数学家们对于它的表述却是众说不一的。从目前报纸杂志上的提法来看，共有三种不同的说法。 第一种：一切偶数能分解为两个素数之和吗？ 第二种：凡是大于2的偶数都是两个素数之和。 第三种：每一个不小于6的偶数都是两个素数之和。 为什么同一个猜想在表述上却会出现如此不同的三种提法呢？这就不得不使我们提出一个问题：即哥德巴赫猜想所提出的问题究竟是偶数的一般性质呢？还是某些偶数所具有的特性。如果是偶数的一般性质，那么它就应该包括所有的偶数在内，如果它不包括所有的偶数，那么原因在哪里呢？或者这个猜想提出的偶数为两个素数之和的关系是某些偶数所具有的特性，那么这些偶数就必然会与另一些不能分解为两个素数之和的偶数有着不同的特点。从哥德巴赫猜想的难点所在我们得知，“困难就在于一切”，这就是说，哥德巴赫猜想所提出的关系是偶数的一般性质，即任意大的偶数都应该具有的性质。也就是我们上面列举的第一种提法。但是，为什么又会出现第二种、第三种不同的提法呢？要解决这个疑问，我们必须重新看一下数学概念。 按照数学规定，数目“1”是只能作为奇数存在的，由于它不能作为素数存在，因此2=1+1所代表的关系式就只能是偶数2为两个奇数1之和，而不能表示为偶数与素数的关系式。这样，由于偶数2不能分解为两个素数之和，因此就必须把它从偶数中清除出去。于是就有第二种提法出现，即凡是大于2的偶数都可表示为两个素数之和。理由是4>2，把偶数4分解可得4=2+2.由于“2”在数学上可以作为素数存在，所以偶数4就可以分解为两个素数之和了。这就是第二种提法得以成立的依据。 然而，我们知道数目2按照数学规定，既可以是偶数又可以成为素数。于是，同一个数目2由于有着双重的规定，因此就造成了4=2+2这一关系式无法确定。按照数学规定，这同一个等式所表示的关系式可有以下三种： 1、当把数目2看作是偶数时，4=2+2这个等式代表偶=偶+偶的关系式 2、当把两个数目2分别看作为素数与偶数时，4=2+2这个等式就代表偶=素+偶的关系式 3、当把数目2看作是素数时，4=2+2这个等式代表偶=素+素的关系式 由于这三个关系式都符合数学规定，所以，当一个数学家提出4=2+2是偶数4所分解的两个素数2之和的关系式时，就会有另一个数学家提出相反的结论，说：“不对！4=2+2是偶数4所分解的两个偶数2之和”。第三个数学家又会否定以上两个数学家的结论，提出：“4=2+2是偶数4所分解的一个偶数2与一个素数2之和”。于是，这三个不同的数学家就会彼此争吵，各执己见，谁也说不服谁。原因就在于他们之中每一个结论对于数学概念的规定来讲，都是符合的。 从这个事实中我们不难看出，造成这场争论的原因就在于数学上对数目2的概念规定本身是自相矛盾的。又是偶数又是素数。须知这是同一个数目2呀。双重规定，自相矛盾，就必然会产生永无休止的争论。于是，明智的数学家为了避免争吵就提出了第三种说法：凡大于4的偶数都可分解为两个素数之和。这第三种提法显然排除了4=2+2所造成的混乱。因为大于4或不小于6的偶数是从偶数6开始的。而偶数6可分解为两个素数3之和，即6=3+3，由于3是确定的没有争议的最小素数，而偶数6可以由两个最小素数3之和组成，所以，第三种提法则为每个不小于6的偶数都是两个素数之和。 从这三种提法的相互矛盾中我们不难看出，由于数学概念中存在着相互矛盾的情况，因此按照数学上的规定，“偶数为两个素数之和”这一反映偶数的一般性质的命题变成了有前提条件的，即不小于6的偶数所具有的特殊性的命题。但是，如果我们抛开数学规定而把数目“1”作为确定的素数看待的话，就会得到如下结果： 2=1+1 4=1+3 6=1+5=3+3 8=1+7=3+5 …… 于是，从偶数2开始，一切偶数就都可以分解为两个素数之和了。然而，由于在数学上是不允许把数目“1”作为素数看待的，因此使得这个猜想所提出的偶数为两个素数之和成为有条件的，这个条件就是不小于6的偶数。这就是说，从现象上看偶数为两个素数之和是不小于6的偶数所具有的性质，因此它是有条件的。但是从本质上看，偶数为两个素数之和又是无条件的，是偶数的一般性质。而要证明偶数的一般性质，证明偶数本身所具有的特点，就必须把无限多个的偶数在数量方面的差异扬弃掉，从而抓住它们的本质，这种做法用数学逻辑、推理是无论如何也办不到的，只有辩证法才能胜任这一工作。因此，在证明这个猜想前，我们先来看一下数学方法与辩证方法的区别。 1、如何表示偶数 我们知道，数学上要想把偶数表示出来，是根据偶数所具有的特点（能够被2整除），在2的后面与自然数n的乘积连在一起，即用2n来表示偶数。当n取不同值时偶数值也就不同。而数学就是要研究数量关系的（狭义地讲是这样，广义地讲，数学是研究数量和形体方面的科学）所以，偶数值的大小对数学来讲，是它本身所要关注的重点方面。那么，如何用辩证表示法来表示偶数呢？我们知道，辩证表示法是抓住事物的本质而扬弃量的大小之规定性的。所以，它关注的重点并不是偶数值的大小、多少，而是偶数有什么性质，有什么特点。因此它要把无限多个的偶数缩减到一个能代表偶数的基本数，用这个基本数表示出来。我们知道，偶数的基本数是“2”，因此要表示偶数就可以用它的基本数“2”来表示。这就是说，辩证表示法与数学表示法在表示偶数时，分别是“2”与“2n”。 有的同志会提出，用辩证法表示偶数时为什么用“2”而不可以用“4”或其它偶数呢？我们说，偶数4或其他偶数虽然都是偶数，都具有偶数的共同特点。但是，偶数4或其它偶数都不是偶数的基本数，它们都已经有了特定的量。如“4”由4个1组成，“6”由6个1组成。所以，它们不能表示任意大的一个偶数。 有的同志又说了，难道偶数2不也有其特定的量吗？“2”是由2个1组成，它与“4”不同样具有量的规定性吗？我们说，是的。“2”也具有特定的量。但是，我们在探讨偶数的基本性质时，是把偶数的基本数“2”用来代表偶数。在这里，表示偶数的“2”与数目2不同，表示偶数的“2”在量上是不确定的，它可以代表偶数4或偶数6，也可以表示更大的偶数，同时它也可以代表一个确定的数目2.所以，它在量上是不确定的，但在质上是确定不移的，代表着偶数。这种表示法本身包含着一种抽象。把质上同一的数抽象出来，用基本数代表，这种方法就是辩证法。 正如个别就是一般一样，一个偶数2就可以代表任何一个偶数。为了说明这个问题，我们举一个通俗的例子。比如说“桌子”，它就可以代表各式各样的桌子，方桌、圆桌、三屉桌、二屉桌、木板面的桌子，塑料贴面的桌子，等等。如果我们不用“桌子”这一概念而改用“方桌”来代表桌子，那么显然它就有了特定的规定性，即方型的桌子，于是它就不能把圆桌包括进去了。这就是说，“桌子”它所具有的是一般性质，而方桌虽然也是桌子，因而也具有桌子的一般性质，但是它还有不同于一般性质的特殊性质。所以用方桌就不能代表所有的桌子。同上道理，如果我们不用2来代表偶数而改用4或其他的偶数，那么，除2以外的任何一个偶数都不能把全部偶数表示出来。原因就在于偶数4或其它的偶数，都是一个特定的偶数，它们除了具有偶数的一般特点以外，还具有各不相同的特殊性质。如4可以分解为2×2，6却可以分解为2×3，8又可以分解为2×2×2。这就是它们各自不同的特点。这就如同上面举例中所提出的：圆桌与方桌虽然都是桌子，但是二者总是有区别的，用方桌代表不了圆桌，用圆桌也代表不了方桌，而用“桌子”表示，就可以把圆桌、方桌以及其它各式各样的桌子都包括进去。所以，用4或其它偶数是不能表示任何一个偶数的。要把全部偶数都包括进去，表示出来，就只能用偶数的基本数“2”来表示。 2、如何表示奇数 从上面分析中我们得知，要想用辩证法表示一个奇数，那么我们只须知道奇数的基本数即可。奇数的基本数是“1”。所以，用辩证表示法表示奇数则可表示为“1”，而用数学表示法则可表示为2n±1.由于2n为偶数，所以，一个偶数无论加上或减去一个奇数1，所得值必为一个奇数。当n取不同值时，2n±1就可以代表不同数值的奇数。 要注意，这里表示奇数的“1”与数目1不同，它是从质上把握的，因而扬弃了它本身的量的规定性。所以，它既可以代表一个确定的奇数1，又可以代表任意大的一个奇数，如代表奇数2301，或9991，或2481-1等。 综上所述，辩证表示法与数学表示法的区别就在于：辩证表示法是从质上把握而扬弃了量的规定性，它所研究的、注意的问题的不同质的数之间的关系，或本质自身中的矛盾。本质所具有的一般性质等等。而数学表示法不仅要表示出质的规定，而且还必须要把它的量的规定性表示出来。它所研究、注意的方面重点是量的大小而不在于质的方面。表面看起来，数学表示法比辩证表示法更全面一些。然而，正因为数学表示法的全面性，也就造成了用这种方法表示的困难性以及不可能性。比如我们要表示素数，那么如何表示呢？ 3、如何表示素数 素数有2、3、5、7、11、13……，要把这无限多个素数用数学方法全面地表示出来，显然是不可能的。因为它在量上是变化的，而且这种变化是不成比例的。所以它不能像偶数与奇数那样，直接可以用一个式子如2n或2n±1表示出来。因此在无法全面表示的情况下，数学就只能求救于某个符号，如用P表示，两个不等的素数可以用P1和P2表示。在这里，用符号P来表示素数这种表示法使我们丝毫也看不出素数与偶数或奇数之间有什么内在联系。于是，全面表示的优点被重点表示的辩证法所取代了。在此时则将显示出辩证表示法的巨大优越性。既然辩证表示法是从质上把握从而扬弃了量的规定性，因此它就可以把不同质的数之间存在的内在联系表示出来。所以，在解决如何用辩证表示法表示素数时，我们先来看一下偶数、奇数与素数有没有什么内在联系，如果有的话，它们的内在联系是什么？从而才能找到表示素数的方法。 我们前面已经进过，除2以外，一切偶数都不是素数。所以只有奇数才能成为素数。因此，我们要表示素数就不能用偶数（或素数）2。同时，由于我们所要求证的是偶数与素数之间的关系问题。所以，我们就必须把数目2的性质确定下来。这样数目2就只能作为偶数存在了。这样做，表面上看起来是对数学上的规定有着片面的应用，然而，它却使我们冲破了数学概念上的相互矛盾，从而可以解决这个数学上迄今不能解决的麻烦。由此可见，只有奇数才能成为素数。因此，要表示素数就可以用奇数的基本数“1”来表示。但是我们知道，并不是所有的奇数都是素数，而是只有极少数的奇数才是素数。这就是说，奇数分为两种，一种是不可以再分解的奇数，我们称之为素数；一种是可以分解为两个或两个以上素因子乘积的奇数，我们给它起一个新的名称，叫做“积数”（数学上把它称作“奇合数”），即表示素因子乘积的意思。由于我们把素数用“1”表示，而奇数不只有素数，还有积数。这样素数表示为“1”，积数也表示为“1”，表示的结果就分不清素数与积数了。但是，根据素数与积数的区别就在于可分解与不可分解上面，因此，我们就可以根据二者的这种区别，用“1”的乘积把不是素数的积数表示出来。这样，当素数用“1”表示时，积数就表示为“1×1”。当表示素数的分解式时，即素数只可分解为自身与1的乘积，把这一分解式表示出来，则有1=1×1，即素数=1×自身。例如3=1×3，11=1×11，前面为不分解时的素数，后面为素数分解时的情况，这就是说，1=1×1这一关系式所表示的含义是素数和它所分解后的两种情况。同样，我们可以把积数也表示为它的分解式，这样就得到如下一个辩证式： 1=1×1=（1×1）（1×1） 例如积数： 15=3×5=（1×3）（1×5） 49=7×7=（1×7）（1×7） 由于“1”分解为任何数目的1的乘积，所得结果都为“1”，这就是说，“1”这个一切整数的基本数（除0以外）它是可以代表所有不同性质的数的。原因就在于，在“1”这个数目中包含着许多矛盾，它可以分解为任何数目的“1”的乘积，也可以作为一个确定的不能再分解的奇数1.所以它除了可以代表素数1=1×1，积数1=1×1=（1×1）（1×1）以外，还可以代表一个与素数、积数不同的特定数，即特定数1=1×1×1，（这里的分解式是一种假定，主要是为了与素数、积数两类数区别开来）。因为积数是两个或两个以上素数的乘积，所以它的分解式的数目是2n+2个，即为一偶数目，而特定数却只能分解为2n+1个，即为一奇数目。所以它是与素数、积数不同的另一类数， 那么，偶数与奇数，素数与积数它们之间的一般关系是什么呢？概括起来，它们之间的一般关系可以归纳为以下三点： 1、偶数与奇数，二者是有着根本不同性质的两类正整数，它们之间的关系是对立统一的。 2、从对偶数的关系上讲，素数与积数二者并无本质的区别，而是相互同一的数，即都是奇数。 3、从奇数之间的关系上讲，素数与积数二者又是有区别的，素数只能分解为2，积数却可以分解为4、6、8等，即可以分解为两个或两个以上素数的乘积。如3和15二者都是奇数，把它们各自分解一下，可得： 3=1×3 15=3×5=（1×3）（1×5） 这样说来，素数只可分解为2，积数却可以分解为4、6、8或更多。如： 积数b=3×5×7×11…… 再进一步分解 =（1×3）（1×5）（1×7）（1×11）…… 由此可见，素数与积数二者不是从质上区分的，而是单从可分解的数目上来区分的，这样的区分丝毫也不影响二者都作为奇数存在。但是在质上同一的情况下，可分解为不同数目的奇数之间毕竟是有差异的，我们就用素数与积数这样两种概念把它们区分开来。也就是说，素数与积数是质上同一又有差异的两类奇数。这样我们就找到了表示素数的方法，即用1=1×1来表示素数，而用1=1×1=（1×1）（1×1）来表示积数，并且探讨了偶数与奇数，素数与积数的一般关系或内在联系。 4、对哥德巴赫猜想的数学表示法与辩证表示法 数学上表示哥德巴赫猜想是用2n=P1+P2（n为自然数，P1、P2代表两个不同的素数）这样一个等式来表示的，这是数学家们用以求证的结果。而我们知道，数学家们都有一个习惯上的简称，把哥德巴赫猜想称为（1+1）.在这里，“1”是代表着素数，“+”表示和的意思。如果我们按照这种表示法把哥德巴赫猜想完整地表示出来，就得到了如下一个等式。即： 2=1+1 这里，“2”是代表偶数的意思，1+1代表两个素数之和。因此，这里的关系式所代表的是偶数与素数之间的关系。所以，它已经不是数学上的，四则运算中所表示的两个数目1相加和等于2那样的关系式了。这个关系式就是一个用辩证表示法来表示的求证命题。我们把它称作辩证关系式，简称辩证式。 由于2与1都是基本数，所以，我们又把由基本数组成的关系式称作基本式。由此可知，每一个基本式都是含有辩证关系的辩证式。下面，我们再来看一下辩证式与数学式各有什么特点。 数学式：2n=P1+P2 （n为自然数，P1、P2 为素数） 辩证式：2=1+1 数学上是从量上来把握的，所以，从数学式中我们一眼就可以看到它所包含的数量关系，即当n取不同值时，2n就组成了不同大小的偶数。因此它就可以依次把无限多个的偶数表示出来。例如n=3时，2n=6。n=10时，2n=20……而P1和P2随n取的值不同，它们的大小也要发生变化。并且P1和P2是代表素数的意思。于是就产生了这样一个问题，即当n取不同值时，能否找到两个素数P1和P2，使它们的和与该偶数值相等。这就是要求证的哥德巴赫猜想。 再看辩证式2=1+1，在这一关系式中，我们已经看不到量的痕迹。在这里，2和1都不是从量上来确定的。“2”在这里并不是一个确定的数目2，它可以随意代表任何一个偶数，如可以代表4、6、8或无限大的一个偶数。而“1”在这里也并不是数目1，而是代表两个或相等或不等的素数，例如（1+1）可以代表3+3，3+5或11+19，23+23等等。总之，只要是两个素数之和，它都用（1+1）来代表。从等式两边的值来看，人们一眼便晓得这个关系式两边值相等。所以这个关系式成立。于是，有的同志就会提出：在现实上偶数有时会表现为不等于两个素数之和，比如12=3+9，18=3+15，52=25+27等等，所以这个辩证式就不能把它们所表现的关系式概括进去。我们说，对了。2=1+1这个辩证式所表示的关系式为偶数与素数的关系，即偶数为两个素数之和。如果偶数不为两个素数之和，就不能用此式来表示。那么，怎样才能把偶数所分解的两个奇数之和的情况一一表示出来呢？首先，从实践中我们得知，偶数分解为两个奇数之和可以有下列四种情况： 1、偶=素+素 例如：18=13+5 46=17+29 2、偶=素+积 例如：18=3+15 62=37+25 3、偶=积+素 例如：18=15+3 88=77+11 4、偶=积+积 例如：18=9+9 44=35+9 如果我们用辩证表示法把上面四个式子表示出来，则可表示为如下四式，假定我们用“1”表示素数： （1）、2=1+1 偶=素+素 例如：18=13+5 46=17+29 （2）、2=1+1×1 偶=素+积 例如：18=3+15 62=37+25 （3）、2=1×1+1 偶=积+素 例如：18=15+3 88=77+11 （4）、2=1×1+1×1 偶=积+积 例如：18=9+9 44=35+9 从这四个辩证式中我们可以看到，（1）、（4）两式虽然表现形式不同，但是二者都具有同样的特点，即两个奇数都为同一类型的数，或都为素数，或都为积数。因此，我们就把这样的两个式子称为完成式（即无矛盾式）。这就是说，偶数可以用两个素数或两个积数之和表示出来。由于我们所要求证的是偶=素+素，所以（4）式我们就可以不去分析它了。因为实践告诉我们，当偶数分解为两个积数之和时，我们是很容易让这样的分解式转化为一个素数与一个积数之和的。另外，偶数要能够分解为两个积数之和，其值总要达到一定的程度，即只有大于或等于由最小素数所组成的积数和形式，才能够使（4）式即积+积这种形式表示出来。所以，它比起（1）式来，需要的条件更苛刻，我们在这里就不详细谈了。 在（2）和（3）两式中，由于两式所表示是关系都为偶数或是由素数与积数之和组成，或是由积数与素数之和组成。二者表现形式虽然不一样，但是，从实践中我们可以发现，它们只是相互位置变化了而已，并没有原则上的区别，所以我们在进行理论分析时就可以用其中的任何一个式子去表示这种关系式。假定我们用（2）式来表示，即2=1+1×1，这时，由于偶数是由素数与素数的乘积即积数之和组成的，而素数与积数在可分解的数目上是不同的，即在表现形式上是不同的两类奇数，它们二者之间有差异、有矛盾存在着。所以，我们就把这种类型的式子称为矛盾式。于是这四个式子就可以用两个式子来代替，不必对它们一一加以分析了。我们把这两个式子列出来，即为： ┌2＝1＋1 定名为完成式（即无矛盾式） │偶 素 素 ┤具体形式看手机拍照的原始稿件 └2＝1＋1×1 定名为矛盾式 偶 素 素 素 这两个辩证式表明，在把偶数分解为两个奇数之和时，存在着两种情况：一种是偶数可以分解成两个素数之和；一种是偶数可以分解为素数与积数之和。现在的问题是：当偶数分解为素数与积数之和时，我们能不能使它向分解为两个素数之和转化。如果能够的话，怎样使它向分解为两个素数之和转化。 从理论上讲，这两个辩证式表明，任何一个偶数都包含着它的完成式与矛盾式的因素。注意，只是因素，就是说，任何一个偶数，从本质上讲都包含着分解为完成式与矛盾式两种情况。这两种情况在其现实性上，并不是每一个偶数都可以分解成既有完成式又有矛盾式的。它也存在着两种情况：一种情况只是内部包含，在其外部并不能同时显现两种关系式，而只能呈现其中的一种关系式。另一种情况是两种关系式都能表现出来，即同一个偶数既可以表示为完成式，又可以表示为矛盾式。所以我们把这两种表现形式称为两种因素。（详见说明1）。 于是，哥德巴赫猜想所要求证的问题就变成了在完成式与矛盾式这两个关系式中，哪一个是基本的。如果完成式是偶数所分解的基本式的话，那么，当偶数分解为素数与积数之和时，如何使它转化为完成式，即转化的条件是什么？ 说到这里，有的同志会提出，积数有的只可分解为两个素数的乘积，如9、15、121等，有的却可以分解为3个或3个以上素数的乘积，如27可分解为3个素数乘积，即：27=3×3×3，而105=3×5×7 1155=3×5×7×11 243=3×3×3×3×3 你把它们都归结为1×1，这样表示恐怕不够完整吧？于是这里又涉及到辩证表示法与数学表示法的区别问题。我们只好再来分析一下。 数学表示法： 1+2 表示为2n=P1+P2×P3 1+3 表示为2n=P1+P2×P3×P4 1+4 表示为2n=P1+P2×P3×P4×P5 ┆ 1+m 表示为2n=P1+P2×P3……Pm+1 而我们用辩证法表示时，则把这无限多个式子的量的差异都扬弃了，而抓住了它们的本质，把它们统统用一个式子表示出来，即都表示为2=1+1×1即偶=素+素×素。如果按照数学家的理解，那么2=1+1×1这个关系式恰好只代表了1+2，而我们却说，它不仅代表着1+2，而且也代表着1+3，1+4或1+m。为什么呢？原因就在于，在辩证思维看来，区别只在于可分解与不可分解之间，至于可分解为3或4，或更多，这一量的规定性是无关紧要的。而从可分解数目的多少不同来把握积数，这是数学上的事情。所以，从数学结论上讲，数学家们认为，1+6与1+5不同，而从1+6进到1+2，这是一个重大的突破，而从辩证角度看来，从1+6进到1+2，本质上并没有前进一步。为什么呢？因为无论是从1+6也好，还是1+2也好，用辩证式表示，它们都表示为2=1+1×1，而在这里，1×1所代表的含义只是素数的乘积，至于有几个素数相成，是2个还是3个或者更多个，这一数目上的规定性已经被扬弃掉了，已不再去考虑它了。从而把凡是由素数乘积组成的奇数，我们都统统称为积数，而用1×1表示出来。 由于辩证表示法与数学表示法有着如此不同的特点，所以，在数学家们认为前进一大步的时候，在他们把1+2作为一个重大突破的时候，对于他们所取得的成绩，在辩证思维看来，是微不足道的。因为他们并没有前进一步，仍然停留在矛盾式上。 举例来讲：同一个偶数30，可以分解为下列不同的三式： （1）、30=5+5×5=5+25 （数学上的1+2） （2）、30=3+3×3×3=3+27 （数学上的1+3） （3）、30=7+23 （数学上的1+1） 按照数学家的见解，（1）式为（1+2），（2）式为（1+3），（3）式为（1+1）。这就是说，陈景润所证明的结果是第（1）等式，需要求出的是第（3）等式，而第（2）等式与第（1）等式虽然表现形式不同，然而，它们都表示偶数为一个素数与一个积数之和。这就是说，它们所表达的关系式是同一个，都被我们称作矛盾式。再举一例：偶数788可分解为下列各式： 788=19+769 （1、数学上的1+1） =7+781=7+11×71 （2、数学上的1+2） =11+777=11+3×7×37 （3、数学上的1+3） =5+783=5+3×3×3×29 （4、数学上的1+4） 以上分解情况表明，偶数788可以分解为（1+1）（1+2）（1+3）（1+4）多种情况。在数学家看来，每种情况都是不同的，而在辩证思维看来，（2）（3）（4）式都代表同一个关系式，即偶数为素数与积数之和。只有（1）式才与它们不同，它表示偶数为两个素数之和。 由于用矛盾式是不能作为依据来论证它的完成式存在的，所以直到今天，这个哥德巴赫猜想还没有得到证实。 为了使读者能够看懂我们是如何用辩证法来证明的，所以，在论证之前，我们先来看一下基本式或辩证式有什么特点。 2=1+1这一关系式被我们称之为辩证式。在这里，“2”代表任意大的偶数，“1”代表着不同的素数。我们知道，数目1是一切数的基数，因此它是可以表示为不同性质的数的唯一的一个数。因此，当“1”所代表的含义不同时，2=1+1这一关系式就可以分别代表不同含义的关系式。例如： （1）当“1”代表奇数时，2=1+1就表示为偶=奇+奇 （2）当“1”代表素数时，2=1+1就表示为偶=素+素 （3）当“1”代表积数时，2=1+1就表示为偶=积+积 （4）当“1”代表特定数时，2=1+1就表示为偶=特定+特定 于是，我们就把这个最简单、最基本的、所包含的内容又是最丰富的式子称为基本式，并以此式作为我们证明时所应用的一个关系式。那么，基本式有什么特点呢？我们说，在基本式中包含着辩证关系，它既是一个特殊式，又是一个普遍式。换句话说，这个基本式既可以代表个别，又可以代表一般。当我们在强调它的特殊式一面时，就把它作为个别式来看待。此时，它就表示为一个确定的偶数2所分解的两个奇数1之和。当我们在强调它的普遍式一面时，就把它作为一般式看待，此时它就表示为任意大的一个偶数都可以分解为两个奇数之和。由于哥德巴赫猜想所要证明的是不小于6的偶数与素数之间的关系，显然，这个关系式具有普遍的、一般的性质。因此我们在证明这个猜想的客观现实性时，就必须把这个基本式作为一般式来看待，而不能作为一个特殊式来看待。也就是说，在2=1+1这个基本式中，“2”所代表的是任意大的一个偶数，而不仅仅是一个确定的偶数2.我们之所以要反复地指明这一点，就是要防止人们只把它作为一个具体式、特殊式来看待。因而不能理解我们在证明时所涉及的一些具有辩证逻辑的关系式，而要能够理解、看懂我们的证明，就必须时刻把握住每一个数字下面所加的质的规定性，就必须牢记辩证表示法的特性。 如果我们从量的方面去区分不同偶数所表示的奇数和的关系式，那么，基本式在这种情况下又只能是以个别的、特殊式出现。此时，它所表示的含义为偶数2所分解的两个奇数1之和，而比2大的任一偶数又可以表示为2n（n>1）,当我们用数学符号来表示任意大的偶数都可分解为两个奇数之和这一关系式时，就会得到如下一式：2n=b+c(其中n>1,b和c分别代表二个奇数)。它与基本式2=1+1相比较，我们一看就知道，这两个式子在量上是截然不等的。但是在质上却是同一的，即都表示偶数为两个奇数之和。由于2n=b+c这一关系式是在2=1+1这一关系式的基础上，在量的方面的扩展，所以我们就把2n=b+c这一关系式称为2=1+1的扩展式。由此可知，基本式和扩展式二者之间在质上是同一的，都代表偶数为两个奇数之和这一关系式。但它们在量上是不相同的，基本式的偶数值为2，扩展式的偶数值为2的倍数。这就是说，扩展式是在基本式的基础之上，数量方面的扩展。它与基本式并无质上的不同。所以，在基本式中所包含的矛盾关系，在它的一切扩展式中也就必然包括。因此，基本式中所包含的矛盾就成为贯穿于它的一切扩展式中的基本矛盾。例如2是偶数的基本单位，因此它是偶数的基本数。任何一个大偶数都可以用2的倍数表示出来。因此，从辩证观点看来，2所具有的特性在它的一切扩展数中都必然存在。由于偶数2可以被2整除，所以，任意大的一个偶数也就必然可以被2整除。对于一个数是这样，那么对于一个关系式是否也具有这样的特点呢？我们说，同样如此。因为按照唯物辩证法的观点，一个事物在它的发展过程中，如果它的质没有发生变化，那么它所包含的基本矛盾也必然不会改变。例如社会的基本矛盾是生产力和生产关系、上层建筑和经济基础的矛盾，只要人类社会存在，这个基本矛盾也就必然存在。不管是在原始社会还是奴隶社会，也不管它是资本主义社会还是共产主义社会，总之，这个基本矛盾是贯穿于人类社会始终的。 由于基本式是它的一切扩展式的基础，因此在基本式中所具有的特点就是它的任何一个扩展式都具有的。所以，基本式又代表了一般，而扩展式则是基本式的具体表现。由此得出一个结论：在偶数与素数之间的关系式上，我们只要把它的基本式分析透彻，就可以说明它的任何一个扩展式。这个结论就是我们能够证明一切偶数都可以表示为两个素数之和的依据。也是我们为什么要以基本式2=1+1作为分析问题的关系式。弄明白了以上的这些基本问题，我们就可以着手转入了证明阶段。 |
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