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理解交集的概念应关注四点
(1)概念中“且”即“同时”的意思,两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素.
(2)概念中的“所有”两字不能省,否则将会漏掉一些元素,一定要将相同元素全部找出.
(3)当集合A和集合B无公共元素时,不能说集合A,B没有交集,而是A∩B=∅.
(4)定义中“x∈A,且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的,即由既属于A,又属于B的元素组成的集合为A∩B.而只属于集合A或只属于集合B的元素,不属于A∩B.
[例1]
(1)(广东高考)已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N= ( )
A.{-1,0,1} B.{-1,0,1,2}
C.{-1,0,2} D.{0,1}
(2)若集合A={x|x>-1},B={x|-2x<>A∪B等于 ( )
A.{x|x>-2} B.{x|x>-1}
C.{x|-2x<-1} ="">-1}>x|-1x<>
[解析]
(1)M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合,故M∪N={-1,0,1,2}.
(2)画出数轴如图所示,故A∪B={x|x>-2}.
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[答案] (1)B (2)A
(1)若集合中元素个数有限,则直接根据并集的定义求解,但要注意集合中元素的互异性.
(2)若集合中元素个数无限,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意是否去掉端点值.
练习:
若集合A={1,4,x},B={1,x2},A∪B={1,4,x},则满足条件的实数x有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:从A∪B={1,4,x}看它与集合A,B元素之间的关系,可以发现A∪B=A,从而B是A的子集,则x2=4或x2=x,解得x=±2或1或0.当x=±2时,符合题意;当x=1时,与集合元素的互异性相矛盾(舍去);当x=0时,符合题意.因此x=±2或0.
答案:C
[例2] (1)(北京高考)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=( )
A.{0} B.{-1,0}
C.{0,1} D.{-1,0,1}
(2)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于( )
A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4}
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求交集运算应关注两点:
(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合.
(2)利用集合的并、交求参数的值时,要检验集合元素的互异性.
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并集、交集的性质应用技巧:
对于涉及集合运算的问题,可利用集合运算的等价性(即若A∪B=A,则B⊆A,反之也成立;若A∩B=B,则B⊆A,反之也成立),转化为相关集合之间的关系求解.
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预警:含字母的集合运算忽视空集或检验
[典例]
(1)已知M={2,a2-3a+5,5},N={1,a2-6a+10,3},M∩N={2,3},则a的值是( )
A.1或2 B.2或4
C.2 D.1
(2)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-2x+a-1=0},若A∩B=B,则a的取值范围为________.
[解析]
(1)∵M∩N={2,3},∴a2-3a+5=3,∴a=1或2.当a=1时,N={1,5,3},M={2,3,5}不合题意;当a=2时,N={1,2,3},M={2,3,5}符合题意.
(2)由题意,得A={1,2}.∵A∩B=B,
∴当B=∅时,(-2)2-4(a-1)<0,解得a>2;0,解得a>
当1∈B时,1-2+a-1=0,解得a=2,且此时B={1},符合题意;
当2∈B时,4-4+a-1=0,解得a=1,此时B={0,2},不合题意.综上所述,a的取值范围是{a|a≥2}.
[答案] (1)C (2){a|a≥2}
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1.本例(1)中的M∩N={2,3}有两层含义:①2,3是集合M,N的元素;②集合M,N只有这两个公共元素.因此解出字母后,要代入原集合进行检验,这一点极易被忽视.
2.在本例(2)中,A∩B=B⇔B⊆A,B可能为空集,极易被忽视.