数学创造性思维的基本特征

数学创造性思维作为一种数学思维，它也是人脑和数学对象相互作用并按照一般思维规律认识数学规律的过程，然而它作为一种特殊的思维形式又有别于其他思维的特征。

特征1 数学的发明是在形式，结构上的为数学美所控制的选择

在数学领域中，发现或发明都是以新的思想组合的方式进行的。发明创造就是排除那些无用的组合，保留那些有用的组合。所以“发明就是选择！选择是被科学的美感所控制的！”

举个例子 在一个有限的实数列中，任意7个连续项之和都是负数，而任意连续11项之和都是正数。问，这样的数列最多有多少项？

我们设这个数列为a1，a2，...an。可以按条件分成若干“7项和片段”与若干“11项和片段”。而这些片段又可作出各式各样的组合，其中大量的是无用的组合。解题过程就是从大量的组合中挑出有用的组合形式。

其中最富数学之美（简单美，对称美）的组合是一个7x11数表：

a1，a2，...a7

a2，a3，...a8

...，...，...

a11，a12，...a17

这个数表按行相加总和为负，按列相加总和为正。这是一个矛盾数表，所以数列至多为16项。这个解法很富有创造性，其本质是被数学美感所控制的组合的选择。

特征2 数学的创造是思维自由想象基础上的构造

数学创造性思维需要想象，“想象力是科学研究中的实在因素”。“数学中也有惊人的想象”。想象提供理想化的思想方法，理想化的思想方法使研究对象极大地简化和纯化。想象力是建立数学新概念，新理论的设计师。数学创造性思维的结果是思维的自由创造物与想象物，它以逻辑上无矛盾为必要条件。由于把√一1设想为一个数，像实数一样参加四则运算在逻辑上无矛盾，从而创造了虚数这种思维的自由创造物与想象物就是一个著名的例子。

举个例子 设x>0，y>0，z>0，求证：

具有数学创造性思维的学生很快注意到结构的特点：当x>0，y>0时，

可以想象

是一个边长为x，y，夹角为600的三角形的第三边。这样，三个关系式可以设想为从一个共同顶点O的三个顶角为600的三角形AOB，BOC，COA的三个边AB，BC，CA。由于三个600角之和小于周角，这个构图在平面上不能实现。这时再进一步想象为一个三面角O-ABC，成为一个空间图形，如下图：

由AB+BC > CA，自然成立关系式：

可见，“想象就是深度，没有一种心理机能能比想象更能自我深化，更能深入对象。它是伟大的潜水者。科学到了最后阶段，就遇到了想象。在对数中，在概率计算中，在微积分计算中，在声波的计算中，在运用于几何学的代数中，想象是计算的系数。于是，数学也就成了诗”。想象与构造是基于深刻逻辑分析基础上的高度综合。“数学家像画家和诗人一样是模式制造家”。

特征3 数学的发现是逻辑思维与非逻辑思维的综合

数学规律的发现既要靠直觉思维，形象思维，也要靠逻辑思维。既要靠发散思维，也要靠收敛思维。数学推理既有归纳推理，也有演绎推理。一般是由合情推理的猜想，靠逻辑演绎来证明。其过程如下：

举个例子 观察下列算式：

初看这些等式，我们立即会问：把分子分母上的乘方指数3约掉

这能相等吗？但仔细观察会发现有规律A=C。但仅此条件是不够的。比如

再进一步观察，可以发现

3=5-2

4=7-3

......

D=A-B

由此产生一个小小的猜想：

上述猜想对不对呢？需要证明或证伪。

由

有

经过推理，证明猜想成立。

此例只是利用初等数学知识进行发现的一个小例子，我们只是用它简单举例分析一下发现的思维过程。

以上三个主要特征可能不尽完善，但这只是抛砖引玉，给大家一个启发。