【原】倒伽函数的全定义幂级数

一、倒伽函数即伽马函数的倒函数，在全复平面上是全解析的，无极点，无奇点。有无数个阶数为1的收敛零点，存在一个阶数为无穷大的发散零点。

               L(z)=1/Γ(z)=∑(n=0…∞)anzⁿ⁺¹.

      其中，an=L⁽ⁿ⁾(1)/(n!)，｜z｜＜∞.

 

二、求an的递进公式：

          a0=1,            a1=γ(欧拉常数)

          nan=γan-1 -∑(k=2…n)(-1)ⁿζ(k)an-k.

       其中，ζ(z)为黎曼ζ函数，n≥2.

 

三、递进公式的证明：

（1）由普西函数的定义公式：ψ(z)=Γ '(z)/Γ(z),

         得             L'(z)=-ψ(z)L(z)

（2）两边取(n-1)阶导数得

        L⁽ⁿ⁾(z)= -∑(m=0…n-1)C(n-1,m)ψ^(m)(z)L^(n-1-m)(z).

        其中，C(n-1,m)=(n-1)!/[m!(n-1-m)!].

（3）令z=1，m=k-1得

       L⁽ⁿ⁾(1)=γL^(n-1)(1) -∑(k=2…n)C(n-1,k-1)ψ^(k-1)(1)L^(n-k)(1).

（4）将L⁽ⁿ⁾(1)=n!an，C(n-1,k-1)=(n-1)!/[(k-1)!(n-k)!]，ψ^(k-1)(1)=(-1)^k(k-1)!ζ(k)代入化简即得递进公式。