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九年级数学二次函数压轴题解析一例(6)

 当以读书通世事 2018-08-08

例题7、(2018年包头市中考数学第26题)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线

九年级数学二次函数压轴题解析一例(6)

与 x 轴交于 A 、 B 两点,(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C ,直线 L 经过 A 、C 两点 ,连接 BC 。

(1)求直线 L 的解析式 ;

(2)若直线 x = m (m < 0)与该抛物线在第三象限内交于点="" e="" ,与直线="" l="" 交于点="" d="" ,连接="" od="" ,当="" od⊥ac="" 时,求线段="" de="" 的长="">

(3)取点 G(0,-1),连接 AG ,在第一象限内的抛物线上,是否存在点 P ,使 ∠BAP = ∠BCO - ∠BAG ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 。

九年级数学二次函数压轴题解析一例(6)

解题思路:

(1)由抛物线的解析式可以求出点 A 、点 C 的坐标, 从而可以求出直线 L 的函数解析式 ;

(2)根据题意作出合适的辅助线,利用三角形相似和勾股定理来解答本题 ;

(3)根据题意画出相应的图形,利用锐角三角函数求出 ∠OAC = ∠OCB ,然后根据题目中的条件和图形,利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题 。

解答过程:

(1)∵ 抛物线 y = 1/2 x^2 + 3/2 x - 2 ,

∴ 令 y = 0 时 , 解得:x1 = 1 , x2 = 4 ;令 x = 0 时, 解得: y = -2 。

∵ 抛物线 y = 1/2 x^2 + 3/2 x - 2 与 x 轴交于 A 、 B 两点,(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C ,

∴ 点 A 的坐标为(-4,0),点B(1,0),点C(0,-2),

设经过 A 、C 两点直线 L 的函数解析式为 y = kx + b ( k ≠ 0 ) , 则有

九年级数学二次函数压轴题解析一例(6)

∴ 直线 L 的函数解析式为 y = -1/2 x - 2 ;

(2)直线 ED 与 x 轴交于点 F ,如图1所示,

九年级数学二次函数压轴题解析一例(6)

由(1)可得:OA = 4 , OC = 2 , ∠AOC = 90° ,

在 Rt△AOC 中,由勾股定理可得:AC = 2√5 ,

∵ OD⊥AC , AO⊥OC ,∠OAD = ∠CAO ,

∴ 1/2 × OA × OC = 1/2 × OD × AC ,OD = 4×2 /(2√5)= 4√5/5 ,

∴ △AOD∽△ACO ,

∴ AD/AO = AO/AC , 即 AD/4 = 4/(2√5) , 解得:AD = 8√5/5 。

又∵ EF⊥x 轴,∠AOC = 90° ,∴ EF∥OC ,

∴ △ADF∽△ACO ,

∴ AF/AO = FD/OC = AD/AC , 解得:AF = 16/5 , DF= 8/5 ,

∴ OF = 4 - 16/5 = 4/5 ,

∴ m = -4/5 ,

九年级数学二次函数压轴题解析一例(6)

∴ EF = 72/25 ,

∴ DE = EF - FD = 72/25 - 8/5 = 32/25 ;

(3)存在点 P ,使 ∠BAP = ∠BCO - ∠BAG 。

理由如下:作 GM⊥AC 于点 M ,作 PN⊥x 轴于点 N ,如图2所示,

九年级数学二次函数压轴题解析一例(6)

∵ 点 A(-4,0),点 B(1,0),点 C(0,-2),

∴ OA = 4 , OB = 1 , OC = 2 ,

九年级数学二次函数压轴题解析一例(6)

∴ ∠OAC = ∠OCB ,

∵ ∠BAP = ∠BCO - ∠BAG (已知条件假设存在),∠GAM = ∠OAC - ∠BAG ,

∴ ∠BAP = ∠GAM ,

∵ 点 G(0,-1),AC = 2√5 , OA = 4 , ∴ OG = GC = 1 ,

九年级数学二次函数压轴题解析一例(6)

解得:GM = 2√5/5 ,

九年级数学二次函数压轴题解析一例(6)

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九年级数学二次函数压轴题解析一例(6)

∴ tan∠PAN = 2/9 , ( 前面结论已知 ∠BAP = ∠GAM )

设点 P 的坐标为

九年级数学二次函数压轴题解析一例(6)

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九年级数学二次函数压轴题解析一例(6)

∴ P 点的坐标为 (13/9 , 98/81), 即存在点 P(13/9 , 98/81), 使 ∠BAP = ∠BCO - ∠BAG 。

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