把握内在联系用课本习题的结论解题

初学三角函数，不少同学感到比较困难，不知从何下手。若认真分析课本中的习题，就会发现有许多考题或与习题相似，或经习题改编，或是习题的应用，只有牢牢把握习题中的内在联系，许多问题就会迎刃而解。

结论  若，

则          （*）

一、在课本中的再现

例1  求证：

解析：此题同（*）式有惊人的相似。由，

符合三个角的和为nπ，这里n=0。

根据（*）式，显然

成立

 

二、在课本中的推广应用

例2  已知，求证：

解析：直接由，

可得，

整理得

若对照（*）式构造三个角的和为π

那么

所以，

即，

整理得

注：若，

则；

若，则

容易证得，同学们不妨试一试。

 

例3  如下图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且BD：DC：AD＝2：3：6，求∠BAC的度数。

解析：由，即满足（*）式，而，，

则

所以，即

因A是三角形的内角，故

注：本题运用（*）式的结论简单明了，极易理解，难题不难了。

 

三、在考题中的应用

例4  求的值。

解析：出现20°、40°，若加上120°，即满足三个角的和为180°。

由，

所以，

即

 

例5  在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值。

解析：由A、B、C成等差数列，得B=60°，

则，

所以，

即

 

例6  已知△ABC，，求B的取值范围。

解析：由，

则

由

则△ABC是锐角三角形，且

因

而

所以

因B是三角形的一个内角，所以。

编者点评：课本中的习题和例题内涵较丰富，每年高考有不少题都是经习题和例题改编而来的，所以认真体会命题者的意图，学会对习题进行变化，并会应用习题中某些有用的结论，有助于同学们更好地学好数学。

 

练一练

已知，求。

答案：

（提示：易知，

由，

那么，

则就可求和解得）