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一、用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。 例1 对于x∈R，不等式 恒成立，求实数m的取值范围。 解：不妨设 ，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使 ，只需 ，即 ，解得 。 变形：若对于x∈R，不等式 恒成立，求实数m的取值范围。 此题需要对m的取值进行讨论，设 。①当m=0时，3>0，显然成立。②当m>0时，则△<> 。③当m<>时，显然不等式不恒成立。由①②③知 。 关键点拨：对于有关二次不等式 （或<>）的问题，可设函数，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。 例2 已知函数，在时恒有，求实数k的取值范围。 解：令，则对一切恒成立，而是开口向上的抛物线。 ①当图象与x轴无交点满足△<>，即，解得－2<><>< span=''>。<><> ②当图象与x轴有交点，且在时，只需
由①②知 关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。 二、参数大于最大值或小于最小值 如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则可以利用函数的单调性求解。恒成立，即大于时大于函数值域的上界。恒成立，即小于时小于函数值域的下界。 例3 已知二次函数，如果x∈［0，1］时，求实数a的取值范围。 解：x∈［0，1］时，，即 ①当x=0时，a∈R ②当x∈时，问题转化为恒成立 由恒成立，即求的最大值。设。因为减函数，所以当x=1时，，可得。 由恒成立，即求的最小值。设。因为增函数，所以当x=1时，，可得a≤0。 由①②知。 关键点拨：在闭区间［0，1］上使分离出a，然后讨论关于的二次函数在上的单调性。 例4 若不等式在x∈［1，2］时恒成立，试求a的取值范围。 解：由题设知，得a>0，可知a+x>1，所以。原不等式变形为。 ，即。又，可得 恒成立。设，在x∈［1，2］上为减函数，可得，知。 综上知。 关键点拨：将参数a从不等式中分离出来是解决问题的关键。 例5 是否存在常数c使得不等式，对任意正数x、y恒成立？试证明你的结论。 解：首先，欲使恒成立（x、y>0），进行换元令 。 ∴上述不等式变为，即恒成立。寻求的最小值，由a>0，b>0，利用基本不等式可得。 同理欲使恒成立，令， 得 ∴上述不等式变为， 即。寻求的最大值，易得。 综上知存在使上述不等式恒成立。 关键点拨：本题是两边夹的问题，利用基本不等式，右边寻找最小值，左边寻找最大值，可得c=。 三、变更主元 在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。 例6 若不等式，对满足所有的x都成立，求x的取值范围。 解：原不等式可化为 令是关于m的一次函数。 由题意知 解得 ∴x的取值范围是 关键点拨：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。 例7 已知是定义在［－1，1］上的奇函数且，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0，有。 （1）判断函数在［－1，1］上是增函数还是减函数。 （2）解不等式。 （3）若对所有、a∈［－1，1］恒成立，求实数m的取值范围。 解：（1）设，则 ， 可知，所以在［－1，1］上是增函数。 （2）由在［－1，1］上是增函数知 解得，故不等式的解集 （3）因为在［－1，1］上是增函数，所以，即1是的最大值。依题意有，对a∈［－1，1］恒成立，即恒成立。 令，它的图象是一条线段，那么。 关键点拨：对于（1），抽象函数单调性的证明往往借助定义，利用拼凑条件，判断差的符号。对于（2），后一步解不等式往往是上一步单调性的继续，通过单调性、函数值的大小转化到自变量的大小上来。对于（3），转换视角变更主元，把看作关于a的一次函数，即在a∈［－1，1］上大于等于0，利用是一条直线这一图象特征，数形结合得关于m的不等式组，从而求得m的范围。
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