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了解更多高中学习实时最新动态 请关注公众号！ 全国卷高考数学，虽然题型相对稳定，但是每年也都有不少创新的好题出现。这类题，往往将考点重新包装，以一种全新的方式出现在考生面前，由于背景较新，常见套路往往不太管用，往往使不少考生栽了跟头。本次以2017届福建省4月份的质检的选择压轴第10题为例介绍如何破题球的问题. 球的问题，之前已经推送过一次。这次福建省理数这道球的题目出的好，跳出常见的套路的一次小创新（但也不是偏和怪），如果用之前的套路简单套用的话，就可能陷入困境。 之前推送过，对于球的一般处理思路有几类： 1）可还原到长方体 2）可还原到直三棱柱 3）一般球问题的球心找法 正常情况下，以上三种是可以解决问题的。以这次福建4月质检理数的这道题，虽然不能套用1）和2），但是仍然适用第3种情况，只是我们在用第三种的时也会遇到困难，就是要找出两个面的外心不太容易。 以下，我们就抽丝剥茧，破解这道“小清新”。 【2017年4月福建省质检理，10】 通常对于球的问题，如果你能用上前述的套路处理的话，是很快可以得到解决的。但是，这道题的四个点不落在长方体的顶点上，因此无法还原到长方体解决。另外，也四个点也不是某个直三棱柱的顶点，也无法还原到直三棱柱求解。再考虑第3种情况，找任意两个面的外心，此时也遇到了困难，外心不好找。 让我们重新审题，先把该空间四边形画出来分析： 由于E、F是分别为AB和CD的中点，并且EF也分别垂直于AB、CD。从而EF同时是AB和CD的中垂线（当然也是公垂线）。故EF上任意一点到C、D的距离相等，同时，EF上任意一点到A、B的距离也相等。故球心一定在直线EF上，设球心与E点的距离为x,如下图所示： 连结OA和OD，则OA=OD=R,三角形OAE和三角形OFD均为直角三角形，由半径相等，容易列出如下方程： 即 解得 选择C 坦白说，本人从看到这题到完成解答不到三分钟的时间，之前没有想推送这题的解析，如果仅仅只是上面的解析，确实也没有什么必要。然而，这道题对球的考法较新，是之前所没有遇到过的，但肯定不属于偏题怪题（听到某位老师说这是偏题怪题，那真是极为不专业），所以还是想能否放到原来的套路里（化归思想），或者看看是否有新的套路。本题跳出了常用的套路，但不失为找球心的一类办法，那这个类又是什么呢？ 前面有述，EF是公垂线，即同时垂直相交与AB和CD这两条异面直线。如将AB和CD分别平移且过彼此的原垂足，则EF会同时垂线于两个面。因EF平分AB和CD，若对平移后的长度适当处理，落在平行面上的两条线长度一样，则即为平分且相等，四个点位于一个矩形内，四点共圆。至此，可知，ABCD是位于上下底面均为矩形的四棱台，如下图所示： 解法，自然与上面类似。前面有述，关于球的通法是找几何体的其中两个面，过其外心过垂线，垂线的交点即为球心（即球心在过外心的球面上）。只是，本题的两个面没有直接给出，需要作出来。而且两个面的过外心的垂线是同一条，可由方程思想列方程求解出来。 进一步讲，所谓的通法，就是找球上的小圆，让几何体的各顶点位于这样的小圆内，则过小圆的圆心作垂线，垂线的交点就是球心。所以，如果你充分理解这点的话，就可以改编成各种新题了。 至此，对球的问题，还是重新梳理一下常用的套路。 1）可还原到长方体（通常垂直三条两两垂线的棱） 2）可还原到直三棱柱（通常有一条棱垂直与一个面） 3）可还原到三棱台，或者上下底面为矩形的四棱台。（这个可以理解为球心偏移问题） 4）一般球心的找法（过其中两个面的外接圆圆心，做垂线，垂线的交点即为球心）  厦门易派教育 |
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