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前言：本文作者是龙盘湖国际学校许莎老师，曾经的一位学生，现就读重点高中，跑回来问了许老师两道高中数学题，以这两道题的解读为例，展现研题的部分过程，原文如下： 周蒙现在在夷陵，以前我在六班替老王上过一节课，他们就认识了我，然后今年过年来问了我两道题。 1.棱长为4的正方体有盖容器内放入两个体积相同的金属小球（盖子能够闭合），则小球半径的最大值为（ ） A. 4-2√2 B.2√6-2√3 C.1 D.3-√3 关于这个题，我的第一反应是，他不会画图，所以不会计算。尤其是球不会画，球在立体图形中不好画。然后我自己想了一下，我的疑惑是，这两个球的球心连线会不会在正方体的体对角线上呢？其实我自己也不太好想象这个图的平面图像是什么样。于是我找了两个健身球和一个盒子摆了一下。  我发现当盒子为长方体的时候球心连线肯定不在体对角线上。那么当盒子为正方体时，球心连线会不会在体对角线上呢？ 网友的答案是这样的，当然没有画图，因为不好画。只是用文字进行了叙述。 提问：正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，为什么两球的球心在体对角线上写出详细的证明过程来。 回答：两球与正方体内切说明两球的圆心分别到切面的距离相等（为圆的半径）正方体体对角线上的点到最近的三个面的距离相等（当点是体心时，到六个面距离都相等）所以两个球的球心在体对角线上。 根据网友的回答，我画出了这样的图来进行证明。 过P点作面A’B’C’D’的垂线P’G，作面AA’B’B的垂线PE，作面BB’C’C的垂线PF  ∵P在BD’上 ∴P’在D’B’上 ∵D’B’为∠A’B’C’的角平分线 ∴P’E=P’F’ ∴PE=PF ∵PG∥DD’ ∴PG:DD'=BG:BD ∵BD=√2DD' ∴BG=√2PG=PH=√2PF ∴PG=PF ∴PG=PF=PE ∴点P为球心 ∴与正方体三个面内切的球心都在体对角线上 于是这个题就很好画出正方体对角面上的平面图，从而开始计算。 在画图的过程中，我第一次犯了一个错误。  我把图画成了这样，根据勾股定理，列出方程为： r²-(4√2+4)r+12=0 这个方程解出来没有选项的结果。但是看这个图好像没有 表达上的错误。于是我觉得肯定是我的图画错了。 错误在哪呢？这个图看上去也挺科学的啊。  于是我又仔细看了一下第一个实物图。 发现了问题的所在，原来我这个平面图画的是实物图 的俯视图，而从对角面看过去，圆的左右与侧棱是没有 相切的。这也是同学们容易犯的错误，直观图变平面图 很容易被我们所看见的迷惑。 经过修改，我画出了正确的平面图像。  ∵△O1O2M∽△BD’D ∴  ∴  ∴  在我的不懈努力下终于把对角面图画出来了~ 学生肯定无法在纸上画出立体图形，那么我们 就必须让学生先从实物观察入手，然后通过抽象思维 建立模型，把立体图形转化为平面图形。  因此我认为，几何学习，尤其是立体几何的学习， 动手操作和实际观察是非常重要的。 数学建模应该是：实际→数学模型→实际 而不是没有任何感知就让学生把图画出来进行计算。 后面两幅图是我使出了洪荒之力才画出来的~ 太棒了~  希望所有的同学们能够有认知能力和画图能力， PS：用斜二侧画法才是最好看的！ 所以在七年级学习立体图形的时候就要贯彻斜二侧画法 只有斜二侧画法才能最有立体感且不会让有的线被挡住。 2.已知函数  ，若 与 的图像有4个不同的交点，则实数k的取值范围是 。 这个题目典型的数形结合思想，要画函数图像，他说他不会画第二个函数的图像，这个是典型的幂函数和对数函数乘积的形式的图像。在没有学导数之前，没有办法通过导函数的正负来确定原函数的增减性。那么我们可以通过一些直观的判断来大致确定函数图像。 由观察得当x=0的时候，带入第1式得f(x)=0,那么当x=0时，带入第2式，也是可以得到f(x)=0的。有的同学就会说，第2个式子取不到0啊，事实上，这只是为了定义域表示的不重复，我们知道lnx的x为0的时候，函数值是趋近于负无穷大的，那么2xlnx在x=0的时候，它的值也是为0的。所以说f(x)也是一个在全体实数上连续的函数。因此我们能很快的知道当x>0时在x=1的时候f(1)=0。所以说函数的两个零点之间一定是先递减再递增，因为当x在(0,1)之间时f(x)<0。这样我们就可以大致画出函数图像了。 对于一般函数函数的图像的画法，除了求导，因为求导比较耗时，有时候有的求导了之后也无法计算，所以我们需要有能够对基本函数的图像有大致推断的能力。这在必修1学习完第2章就应该具备这样的能力。然而大多数同学把基本初等函数的图像当做一个一个孤立的内容去学习，没有找到他们之间的联系。所以感觉做函数的题目举步维艰，无法判断单调性。所以就会有畏难情绪。大多数时候，我们的恐惧是来自于那些对未知事物的不确定性。对于函数图像的不确定性就是学习函数的最大障碍。 下面我们来一起总结一下如何推断一些常见的函数的图像情况。 这个函数是我们学过的对勾函数，是一个双曲线，也叫“耐克函数”。 这是以x=0和y=x为渐近线的一组双曲线，有最值，无零点。 ，如果把对勾函数的中间改成-号，图像会变成什么样呢，很显然，这个函数就会有两个零点。分别为1或-1。当x>0时，x当然是趋近于+∞，1/x是趋近于+0，因此，x-1/x是趋近于+∞。当x趋近于+0的时候，1/x趋近于+∞，那么就说明x-1/x=0-(+∞)，因此，x-1/x趋近于-∞。那么我们就可以判断出，当x>0时，函数是由-∞递增到+∞，当x=1时有一个零点。而f(x)为奇函数，因此当x<0时，函数单调递减，当x=-1时有一个零点。这样我们就画出了f(x)的图像。 所以我们总结一下推断函数图像的方法： |
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