多面体与球

多面体与球

 

二. 本周教学重、难点：

1. 了解多面体，凸多面体，正多面体的概念。

2. 了解球的概念，掌握球的性质，表面积，体积公式。

 

【典型例题】

[例1] 如图，地球半径为R，地面上三点A、B、C的经纬度分别是：A点是东经，北纬；B点是东经，北纬；C点是东经，北纬，试求A、B与B、C两点的球面距离。

解：∵ A、B纬度均为   ∴ A、B在同一纬线上

设此纬线圈中心为O₁    由已知有，且

∴

在中，=

在中，

∴    ∴ A、B两点的球面距离等于

∵ B、C两点在同一经线上，纬度差为，即

∴ BC两点的球面距离等于

 

[例2] 已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为。

（1）求它的外接球的体积；

（2）求它的内切球的表面积。

解：如图

（1）设外接球的半径为R，球心为O，则OA=OC=OS

∴ O为的外心，即的外接圆半径就是球的半径

∵ AB=BC=     ∴      ∵ SA=SC=AC=

∴ 为正三角形

由正弦定理得

因此

（2）设内切球的半径为r

作SE⊥底面于E，作SF⊥BC于F，连结EF

则有

又

∴

∴

∴

 

[例3] 半径为1的球面上有A、B、C三点，其中A和B的球面距离，A和C的球面距离都是，B和C的球面距离是，求球心O到平面ABC的距离。

解：∵ 球O的半径为1   ∴ A和B的球面距离

∴     又 OA=OB=1   ∴

同理，，，，BC=1

由，得OA⊥平面OBC

设所求距离为，则由，知

由此解得

 

[例4] 棱长是的正方体AC₁内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切。求证：两个球半径之和为常数。

解：如图所示，根据正方体、球均为中心对称图形可知，两球球心O₁、O₂均在正方体的体对角线AC₁上，并且一球与上底面对角线相切，另一球与下底面对角线相切，以此作出其对角面图

设O₁、O₂半径分别为、，过O₁、O­₂分别作，

则为

∵     ∴

即     ∴ （常数）

 

[例5] 如图，球心O到截面BCD所在圆心O₁的距离为球的半径的一半，BC是截面圆的直径，D为圆周上一点，CA是球O的直径。

（1）求证：平面ABD⊥平面BDC；

（2）如果球的半径为R，D分为两部分，求AC与BD所成角。

解：（1）设球心为O，小圆BCD的圆心为O₁

由题知    ∵ AC是球的直径   ∴ AB⊥BC 

又 ∵ AB//OO₁    ∴ AB⊥面BCD   而AB面ABD   ∴ 面ABD⊥面BDC

（2）由D分为两部分，知

延长DO₁交圆O_­1于H，则CH//BD，故为AC与BD所成的角，易证CH⊥平面ABH，故CH⊥AH

    ∴ AC与BD所成的角为

 

[例6] 在一个轴截面是正三角形（顶角开口向上）的圆锥形容器中注入高为h的水，然后将一个铁球放入这个圆锥形容器中，若水面恰好和球面相切，求这个铁球的半径。

解：如图，作出圆锥容器的轴截面，为等边三角形

∵ SG=，DG    ∴

设铁球的半径为R，则SO=2R，SF=3R

在中，

    依题意有，即

∴    

答：所求铁球半径等于

 

[例7] 如图所示，四棱锥A—BCDE中，AD⊥底面BCDE，AC⊥BC，AE⊥BE。

（1）求证：ABCDE五点都在以AB为直径的同一球面上；

（2）若，，AD=1，求B、D两点间的球面距离。

解：（1）∵ AD⊥底面BCDE   ∴ AD⊥BC，AD⊥BE

又 ∵ AC⊥BC，AE⊥BE    ∴ BC⊥CD，BE⊥ED

∴ B、C、D、E四点共圆，即BD为圆的直径

取AB的中点M，BD的中点N，连结MN，则MN//AD

∴ MN⊥底面BCDE，即M的射影是圆的圆心N

∴ AM=BM=CM=DM=EM   五点共球体，且直径为AB

（2）若，则底面四边形BCDE是一个矩形，连结DM

∵    ∴

∴ BM=1，   

∴ B、D两点间的球面距离是

 

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（    ）

    A.     B.     C. 2    D.

2. 如图，A、B、C是表面积为的球面上三点，AB=2，BC=4，，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（    ）

A.     B.     C.     D.

3. 把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD与BC的夹角为（    ）

    A. 30°   B. 45°   C. 60°   D. 90°

4. 已知体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别为S₁、S₂、S₃，则它们之间的关系是（    ）

A.                        B.

C.                        D.

5. 如图，一个由三根细铁杆PA、PB、PC组成的支架，三根杆的两两夹角都是60°，一个半径为1的球放在支架上，则球心到点P的距离是（    ）

A.     B.     C. 2    D.

6. 已知球的表面积为，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=2，，则球心到平面ABC的距离为（    ）

    A. 1    B.     C.     D. 2 

7. 地球半径为R，在北纬30°圈上有两点A、B，A点的经度为东经120°，B点的经度为西经，则A、B两点的球面距离为（    ）

    A.     B.     C.     D.

8. 一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形是（    ）

A.（1）（3）   B.（2）（4）  C.（1）（2）（3）   D.（2）（3）（4）

 

二. 解答题：

1. 如图所示，AB是球O的直径，C、D是球面上两点，且都在以BC为直径的小圆上，设小圆所在的平面为

（1）求证：平面ABC⊥；

（2）设D为的中点，AD与平面所成的角为，过球的半径OD且垂直于平面的截面截BC弦于点E，求与过OD的截面圆的面积之比。

2. 在棱长为2R的正方体容器内装满水，先把半径为R的球放入水中，然后再放入一球，使它淹没在水中，且使溢出的水最多，问这个球的半径应是多少？并计算放入两球后溢出的水量与容器容量之比。

3. 上海靠近北纬30°、东经120°的A点，洛杉矶靠近北纬30°、西经120°的B点，如果以美国新研制的3倍音速的飞机，那么从洛杉矶起飞到达上海需要多长时间？

（，音速为340m/s，地球半径取R=6378km）。

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

一.

1. B

    解析：设球心为O，由题设知三棱锥O—ABC是正四面体，且的外接圆半径是2，设球半径为R，则，∴

2. D

    解析：易得该球的半径是，在截面圆上AB=2，BC=4，，得

，则截面圆的圆心是BC的中点O­₁，截面圆半径是2，由球的知识知OO₁⊥截面ABC

所以是直线OA与截面ABC所成的角

在中，

所以

故直线OA与截面ABC所成的角是

3. C

解析：如图，面ADC折起到面的位置，显然面ABC⊥面时，体积最大，O是AC中点，连结OD、、

∵ 面ABC⊥面    ∴    又

∴ 在中，

∴ ，即为等边三角形 

又 AD//BC    ∴ 与AD所成的角即为与BC所成的角，即，故选C。

4. C

解析：∵ ，

∴ ，得

5. A

解析：如图所示，O为球心，O₁为过切点E、F的截面小圆的圆心，为正三角形

设EP=   ∴    由射影定理知

∴     ∴ 球心到点P的距离为

6. A

解析：如图，设球的球心是O，由于O到A、B、C的距离都是球的半径R

∴ O在平面ABC内的射影是的外心

在中，由余弦定理得

∴

设外接圆半径为，则由正弦定理得=，即

∵     ∴

∴ 球心O到平面ABC的距离

7. D

解析：∵ 点A、B都在北纬圈上，A点的经度为东经，B点的经度为西经

∴ A、B两点的连线是纬线圈的直径，过B作BE⊥赤道平面于E，则

∵ OO₁⊥赤道平面   ∴     ∴

∴ 过点A₁B的球大圆劣弧长

8. C

解析：当截面平行于正方体的一条侧棱时，得（1）或（3），当截面过正方体的对角线时，得（2），无论如何都不能截出（4）。

 

二.

1. 解：（1）取BC的中点，连OO₁   ∵ O₁是以BC为直径的圆的圆心

则⊙O₁   即底面BCD   又 ∵ 面ABC

∴ 面ABC⊥面BCD，即面ABC⊥

（2）D为的中点，则DO₁⊥BC，过OD且垂直于平面的截面截BC弦于E，E即是

∴      ∵ AC⊥DE    ∴ AC⊥面BCD，

设BC，则，

∴

∴

2. 解：设半径为R的球的球心为O，后一球的球心为，作出正方形的对角线，如图所示的矩形中，O点必在对角线中点处，欲使第二个球放入后溢出的水最多，则球心也在上，作于Q，O₁P⊥AC于P，设两球外切于E，则

∴    由

∴      ∴

又     ∴

此时所求比为

3. 解析：设地球半径为，所对球心角为，纬度圈的半径为，

则，

∴     ∴ A、B两点的球面距离为

取，飞机沿球面距离航线飞行，飞行时间为

答：从洛杉矶到上海只需8小时51分钟。