【原】三角方程tanZ=Z无虚根的证明

1、已知：tanZ=Z，  求证：无虚根。

证明：令Z=x+yi（i²=-1）

分三种情况：

（1）y=0：原方程有无穷多个实根；

（2）X=0：y=0

（3）X≠0、y≠0：

∵tan(x+yi)=sin(x+yi)/cos(x+yi)=[sin(x)cos(x)+i·sh(y)ch(y)]/[cos²(x)+sh²(y)]

∴cos²(x)+sh²(y)=sin(2x)/(2x)=sh(2y)/(2y)

又  sin(2x)/(2x)＜1，（x≠0）

     sh(2y)/(2y)＞1，（y≠0）

故  原方程无虚根。得证

 

2、同理可证：三角方程tanZ=aZ（a为实数）

（1）当a≥1或a≤0时，原方程无虚根；

（2）当0＜a＜1时，除实根外，只有一对相反纯虚根。

 

3、同理可证：三角方程tanZ=a / Z（a为实数）

（1）当a≥0时，原方程无虚根；

（2）当a＜0时，除实根外，只有一对相反纯虚根。