高中数学解题思想之----配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) ＝a ＋2ab＋b ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：

a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab；

a ＋ab＋b ＝(a＋b) －ab＝(a－b) ＋3ab＝(a＋ ) ＋（ b） ；

a ＋b ＋c ＋ab＋bc＋ca＝ [(a＋b) ＋(b＋c) ＋(c＋a) ]

a ＋b ＋c ＝(a＋b＋c) －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) －2(ab－bc－ca)＝…

结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：

1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） ；

x ＋ ＝(x＋ ) －2＝(x－ ) ＋2 ；…… 等等。

Ⅰ、再现性题组：

1. 在正项等比数列{a }中，a sa +2a sa +a ?a =25，则 a ＋a ＝_______。

2. 方程x ＋y －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。

    A. <k<1       B. k< 或k>1      C. k∈R       D. k＝ 或k＝1

3. 已知sin α＋cos α＝1，则sinα＋cosα的值为______。

    A. 1             B.  －1           C. 1或－1     D. 0

4. 函数y＝log  (－2x ＋5x＋3)的单调递增区间是_____。

    A. （－∞, ]    B.  [ ,+∞)      C.  (－ , ]   D. [ ,3)

5. 已知方程x +(a-2)x+a-1=0的两根x 、x ，则点P(x ,x )在圆x +y =4上，则实数a＝_____。

【简解】 1小题：利用等比数列性质a a ＝a ，将已知等式左边后配方（a ＋a ） 易求。答案是：5。 

2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a) ＋(y－b) ＝r ，解r >0即可，选B。

3小题：已知等式经配方成(sin α＋cos α) －2sin αcos α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。

4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。

5小题：答案3－ 。

Ⅱ、示范性题组：

例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。

    A. 2           B.           C. 5             D.  6

【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则  ,而欲求对角线长 ，将其配凑成两已知式的组合形式可得。

【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得： 。

长方体所求对角线长为： ＝ ＝ ＝5

所以选B。

【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。

例2. 设方程x ＋kx＋2=0的两实根为p、q，若( ) +( ) ≤7成立，求实数k的取值范围。

【解】方程x ＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,

( ) +( ) ＝ ＝ ＝ ＝ ≤7， 解得k≤－ 或k≥  。

又 ∵p、q为方程x ＋kx＋2=0的两实根， ∴  △＝k －8≥0即k≥2 或k≤－2

综合起来，k的取值范围是：－ ≤k≤－  或者 ≤k≤ 。

【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。

例3. 设非零复数a、b满足a ＋ab＋b =0，求( ) ＋( )  。

【分析】 对已知式可以联想：变形为( ) ＋( )＋1＝0，则 ＝ω （ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b) ＝ab 。则代入所求式即得。

【解】由a ＋ab＋b =0变形得：( ) ＋( )＋1＝0 ，

设ω＝ ，则ω ＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以： ＝ ，ω ＝ ＝1。

又由a ＋ab＋b =0变形得：(a＋b) ＝ab ，

所以 ( ) ＋( ) ＝( ) ＋( ) ＝( ) ＋( ) ＝ω ＋ ＝2 。

【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。

【另解】由a ＋ab＋b ＝0变形得：( ) ＋( )＋1＝0 ，解出 ＝ 后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式( ) ＋( ) 后，完成后面的运算。此方法用于只是未 联想到ω时进行解题。

假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a ＋ab＋b ＝0解出：a＝ b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。

Ⅲ、巩固性题组：

1.     函数y＝(x－a) ＋(x－b)   （a、b为常数）的最小值为_____。

A.  8      B.       C.       D.最小值不存在

2.     α、β是方程x －2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1)  +(β-1) 的最小值是_____。

A.  －     B.  8     C. 18    D.不存在

3.     已知x、y∈R ，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2 ＋8 有_____。

A.最大值2     B.最大值      C.最小值2     B.最小值

4.     椭圆x －2ax＋3y ＋a －6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。

A.  2         B.  －6       C. －2或－6      D.  2或6

5.     化简：2 ＋ 的结果是_____。

A.  2sin4     B.  2sin4－4cos4     C.  －2sin4     D.  4cos4－2sin4

6. 设F 和F 为双曲线 －y ＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F PF ＝90°，则△F PF 的面积是_________。

7. 若x>－1，则f(x)＝x ＋2x＋ 的最小值为___________。

8. 已知 〈β<α〈 π，cos(α-β)＝ ，sin(α+β)＝－ ，求sin2α的值。(92年高考题)

9. 设二次函数f(x)＝Ax ＋Bx＋C，给定m、n（m<n）,且满足A [(m+n) + m n ]＋2A[B(m+n)－Cmn]＋B ＋C ＝0 。 

①  解不等式f(x)>0；

② 是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。

10. 设s>1，t>1，m∈R，x＝log t＋log s，y＝log t＋log s＋m(log t＋log s),

①  将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；

②  若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。