1.轨迹方程 【知识点的认识】 1.曲线的方程和方程的曲线 在平面内建立直角坐标系以后,坐标平面内的动点都可以用有序实数对(x,y)表示,这就是动点的坐标.当点按某种规律运动形成曲线时,动点坐标(x,y)中的变量x、y存在着某种制约关系,这种制约关系反映到代数中,就是含有变量x、y的方程. 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看做适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程就叫做曲线的方程,这条曲线就叫做方程的曲线. 2.求曲线方程的一般步骤(直接法) (1)建系设点:建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任一点M的坐标; (2)列式:写出适合条件p的点M的集合{M|p(M)}; (3)代入:用坐标表示出条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式; (5)证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点 【常用解法】 (1)直接法:根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等)进行整理、化简.这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧. (2)定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等),可用定义直接探求.关键是条件的转化,即转化为某一基本轨迹的定义条件. (3)相关点法:用所求动点P的坐标(x,y)表示已知动点M的坐标(x0,y0),即得到x0=f(x,y),y0=g(x,y),再将x0,y0代入M满足的条件F(x0,y0)=0中,即得所求.一般地,定比分点问题、对称问题可用相关点法求解,相关点法的一般步骤是:设点→转换→代入→化简. (4)待定系数法 (5)参数法 (6)交轨法. |
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