高中数学：圆锥曲线不怕难！

GIF

【考点梳理】

1．曲线与方程的定义

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

2．求动点的轨迹方程的基本步骤

【考点突破】

考点一、直接法求轨迹方程

例1已知△ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________.
[答案]  (1) A  (2) (2，2)

[解析]  设A(x，y)，由题意可知Dx2，y2.
又∵|CD|＝3，∴x2－52＋y22＝9，即(x－10)2＋y2＝36，
由于A，B，C三点不共线，∴点A不能落在x轴上，即y≠0，
∴点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0).

[类题通法]
直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性。

通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性。

[对点训练]
在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点且直线AP与BP的斜率之积等于－13，则动点P的轨迹方程为________________．
[答案]  x2＋3y2＝4(x≠±1)

[解析]

因为点B与点A(－1，1)关于原点O对称，
所以点B的坐标为(1，－1)．
设点P的坐标为(x，y)，
由题意得y－1x＋1·y＋1x－1＝－13，化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)，
故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)

考点二、相关点(代入)法求轨迹方程

例2设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN―→＝2MP―→，PM―→⊥PF―→，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程[解析]  设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，
∵PM―→⊥PF―→，PM―→＝(x0，－y0)，PF―→＝(1，－y0)，
∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，
∴x0＋y20＝0.
由MN―→＝2MP―→，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
∴x－x0＝－2x0，y＝2y0，即x0＝－x，y0＝12y，
∴－x＋y24＝0，即y2＝4x故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x[类题通法]
代入法求轨迹方程的四个步骤
(1)设出所求动点坐标P(x，y)
(2)寻找所求动点P(x，y)与已知动点Q(x′，y′)的关系
(3)建立P，Q两坐标间的关系，并表示出x′，y′
(4)将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解[对点训练]
如图，已知P是椭圆x24＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于点M.若PN―→＝λNM―→
(1)求N点的轨迹方程；
(2)当N点的轨迹为圆时，求λ的值

[解析]  (1)设点P，点N的坐标分别为P(x1，y1)，N(x，y)，
则M的坐标为(x1，0)，且x＝x1，
∴PN―→＝(x－x1，y－y1)＝(0，y－y1)，
NM―→＝(x1－x，－y)＝(0，－y)，
由PN―→＝λNM―→得(0，y－y1)＝λ(0，－y)．
∴y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y.
∵P(x1，y1)在椭圆x24＋y2＝1上，
则x214＋y21＝1，
∴x24＋(1＋λ)2y2＝1，
故x24＋(1＋λ)2y2＝1即为所求的N点的轨迹方程(2)要使点N的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14，
解得λ＝－12或λ＝－32.
∴当λ＝－12或λ＝－32时，N点的轨迹是圆

考点三、定义法求轨迹方程

例3已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程

[解析]

由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；
圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为 x24＋y23＝1(x≠－2)

【变式1】将本例的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”，求圆心P的轨迹方程

[解析]

由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；
圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R，
因为圆P与圆M，N都外切，

所以|PM|－|PN|＝(R＋r1)－(R＋r2)＝r1－r2＝－2，
即|PN|－|PM|＝2，又|MN|＝2

所以点P的轨迹方程为y＝0(x<－2)

【变式2】把本例中圆M的方程换为：(x＋3)2＋y2＝1，圆N的方程换为：(x－3)2＋y2＝1，求圆心P的轨迹方程

[解析]

由已知条件可知圆M和N外离，所以|PM|＝1＋R，|PN|＝R－1，
故|PM|－|PN|＝(1＋R)－(R－1)＝2<|MN|＝6，
由双曲线的定义知点P的轨迹是双曲线的右支

其方程为x2－y28＝1(x>1)

【变式3】在本例中，若动圆P过圆N的圆心，并且与直线x＝－1相切，求圆心P的轨迹方程

[解析]

由于点P到定点N(1，0)和定直线x＝－1的距离相等，
所以根据抛物线的定义可知，

点P的轨迹是以N(1，0)为焦点，以x轴为对称轴、开口向右的抛物线，

故其方程为y2＝4x

[类题通法]
应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解

[对点训练]
设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E
(1)证明|EA|＋|EB|为定值；
(2)求点E的轨迹方程，并求它的离心率

[解析]

(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，
所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，
所以|EA|＋|EB|＝4

(2)由圆A方程(x＋1)2＋y2＝16，知A(－1,0)．又B(1,0)，
因此|AB|＝2，则|EA|＋|EB|＝4>|AB|
由椭圆定义，知点E的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(不含与x轴的交点)
所以a＝2，c＝1，则b2＝a2－c3＝3
所以点E的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)
故曲线方程的离心率e＝ca＝12