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一、“四圆一线”： （1）内切椭圆：(x/a)2+(y/b)2=1 共轭切点A：（a√[a/(a+b)]，b√[b/(a+b)]） （2）同焦外接椭圆：x2/(a2+ab)+y2/(b2+ab)=1 共轭接点B：（a，b） （3）共轭双曲线：x2/(a2-ab)+y2/(b2-ab)=1（同焦内接双曲线） （4）相似外接椭圆：(x/a)2+(y/b)2=2 共轭接点B：（a，b） 二、有关性质： （一）内切椭圆的切于共轭切点A的外切菱形是同焦外接椭圆的顶点内接菱形。 （二）内切椭圆的顶点外切矩形，是同焦外接椭圆和相似外接椭圆的内接矩形，并且是同心共轴线外接椭圆的公共内接矩形，其中一个接点为B点。 （三）共轭切点A与共轭接点B在共轭双曲线上。 （四）内切椭圆的外切四边形，若有三个顶点在同焦外接椭圆上，则第四个顶点也在同焦外接椭圆上，且为平行四边形。其平行四边形邻边相对主轴的斜率积：k1k2=-b/a. （五）内切椭圆的共轭直径外切四边形(切点参数角依次相差90度)，是相似外接椭圆的内接平行四边形(接点参数角依次相差90度)。其平行四边形邻边相对主轴的斜率积：k1k2=-b2/a2. （六）内切椭圆的外切平行四边形，若邻边相对主轴的斜率积为负常数，则内接于同心共轴线的一个外接椭圆上。设k1k2=k＜0，则外接椭圆方程为：k(a2-x2)=b2-y2，此类外接椭圆经过共轭接点B。 k＞0，为内接双曲线；k=b/a，为共轭双曲线。 （1）内椭圆：(x/a)2+(y/b)2=1、外椭圆：(x/a1)2+(y/b1)2=1 （2）存在弦切四边形的条件：(a/a1)2+(b/b1)2=1 （3）其弦切四边形为平行四边形 （4）邻边相对主轴的斜率积为：k1k2=(-1)(b1/a1)2。 （八）内切椭圆的外切平行四边形，若邻边相对某一直线的斜率积k为负常数，则内接于同心的一个外接椭圆上；k为正常数，则外接于同心的一个内接双曲线上。 （九）主轴平行的两个相似椭圆： （1）椭圆方程： ①内椭圆：(x/a)2+(y/b)2=1 ②外椭圆：(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=k（k≥2） （2）存在弦切四边形的条件：(x0/a)2+(y0/b)2=k+1-√(4k+1) （十）外椭圆为圆，且圆心在内轴线上： （1）内椭圆：(x/a)2+(y/b)2=1 （2）外圆：(x-x0)2+y2=R2 存在弦切四边形的条件：R2=a2+x02+√(b4+4a2x02) （3）外圆：x2+(y-y0)2=R2 存在弦切四边形的条件：R2=b2+y02+√(a4+4b2y02) （十一）共主轴线的两个椭圆： （1）椭圆方程： ①内椭圆：(x/a)2+(y/b)2=1 ②外椭圆：[(x-x0)/a1]2+(y/b1)2=1 （2）存在弦切四边形的条件： (b/b1)4=[1-(a-x0)2/a12][1-(a+x0)2/a12] （十二）共付轴线的两个椭圆： （1）椭圆方程： ①内椭圆：(x/a)2+(y/b)2=1 ②外椭圆：(x/a1)2+[(y-y0)/b1]2=1 （2）存在弦切四边形的条件： (a/a1)4=[1-(b-y0)2/b12][1-(b+y0)2/b12] （十三）椭圆的偏心准圆： （1）椭圆：(x/a)2+(y/b)2=1 （2）偏心准圆：(x-x0)2+(y-y0)2=R2 R2是下列三次方程的最大正根： (R2+a2+b2-x02-y02)3+8a2b2R2= 4(R2+a2+b2-x02-y02)[(a2+b2)R2+a2b2-a2y02-b2x02] |
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