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文：岳峻 董永奇 对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景. 01 对数平均引入与证明 先说重点:本文中涉及的对数平均不等式在考试中解答题不能直接用，需要给出证明过程 关于对数平均不等式的证明可以参考之前的文章《极值点偏移（五）——对数平均不等式》这里介绍一种几何证明 。 02 借助于对数平均数的不等关系巧妙放缩 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．
评注 本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．
又会得出怎样的结论呢？请看下例.
03 多变量问题蕴含的对数平均数的不等关系 高考数学时常出现多变量的综合问题，且多出现在压轴题的位置，由于含有多个变量，使题目显得繁杂混乱，此类问题对学生的阅读能力、转化与划归的思维灵活性要求较高，许多学生面对此类问题往往一筹莫展，难以找到解决问题的突破口．如何从繁乱中理出头绪并顺利解决问题呢？ 关于双变量也可参考这篇文章《导数压轴题中双变量的那些事儿》
破解此类问题，需运用转化与化归的思想，通过构造两个变量的比值（或差值）的函数，使之减少变量的个数，化归为我们所熟悉的一元函数，最后利用导数证明不等式．
评注 以此为背景的两个变量的不等式的证明问题，其解题策略：先将待证不等式逆推分析，进行等价转化，使得其中的两个变量的特征显现出来，然后利用换元法将两个变量的比值（或差值）作为新的一元变量．这种解题策略是转化与化归、消元与换元、构造与求导等基本数学思想方法的有机整合，因此此类问题是高考考查的重点．对数平均数不等式链的证明方法与本例的证明方法是一样的．
04 利用对数平均数命题的变式探究 为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的
变式探究1：
变式探究2：
变式探究3：
变式探究4：
变式探究5：
变式探究6：
变式探究7：
变式探究8：
变式探究9：
变式探究10：
变式探究11：
变式探究12：
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