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上节课我们讲到了导数的四则运算法则及复合函数的微分法则，里面基本初等函数导数表（微分表），一定要理解并掌握，只有理解并掌握基本初等函数的导数，才能更加更好的学习复合函数的求导。 说到复合函数的求导我们高中数学其实也学过，并且一些基本的知识点也已经很好的掌握了，但是大学高等数学中复合函数的求导如果只是采用高中数学学习的复合函数的有关知识来解题是远远不够的，接下来我们进去我们今天要学习的内容。 由复合函数求导法则导出的几类函数的微分法 （一）幂指数函数f（x）^g（x）的求导数（微分）法
设y=（1+x^2）^arctanxx,求y‘ 解法（1）将函数化为y=e^arctanxln(1+x^2),然后对x求导得 y’=[arctanxln(1+x^2)]‘（1+x^2）^arctanx =（1+x^2）^arctanx[ln(1+x^2)/(1+x^2)+2xarctanx/(1+x^2)] 解法（2）在等式两边取对数有lny=arctanx*ln（1+x^2），两边对x求导得 y'/y=ln（1+x^2）/(1+x^2)+2xarctanx/(1+x^2) 所以 y’=（1+x^2）^(arctanx-1)[ln(1+x^2)+2xarctanx] （二）反函数求导法 定理：设y=f（x）在区间D1内可导且f‘（x）≠0，值域为区间D2，则y=f（x）的反函数x=φ（y）在D2可导且 φ’（y）=1/f‘（x） 若已知反函数存在且可导，则反函数的导数可由复合函数法则求出： 设y=f（x）的反函数x=φ（y），则 d（y）/dy=df（x）/dy=f’（x）*dx/dy→1=f‘（x）dx/dy 因此 dx/dy=1/f’（x）=1/y‘ 若又设f（x）在区间D1二阶可导，可再用复合函数求导法则求二阶导数，即
（三）由参数方程确定的函数的求导法
这里面求d^2y/dx^2时一定要注意自变量到底是t，还是x，这是易错点也是经常考的点，因为小编是14年底考研的，对于参数方程的考察可以这么说，每年必考，送分题不拿白不拿。 （四）变限积分的求导法
（五）隐函数微分法 原理：设有二元方程F(x,y)=0(如x^2+y^2=1,x-y+1/2siny=0),若在区间I上存在函数y=y（x）满足F(x，y（x）)=0，则称这个函数y=y（x）为方程F（x，y）=0在区间I上确定的隐函数。若它可导，则由F(x，y（x）)=0及复合函数求导法则可求得y’或dy所满足的方程，再解出y‘或dy即可。将y’的表达式或y‘满足的方程再对x求导，由复合函数求导法可求得y“
其实说白了对于隐函数的求导，只要会提取要求的公因式，计算细心的，一般问题不大。 注意：求隐函数的导数时，求解过程中若能用方程将结果化简时应尽量化简，特别是当题目要求再计算隐函数的二阶导数时，化简往往会给后面的计算带来方便。在对于复合函数的隐函数求导中 [f'(x+y)]'≠f'（x+y），而应是[f'(x+y)]'=f'(x+y)*(1+y') 今天的复合函数求导法则的几类函数微分法到这里就讲解完了，如果有不明白或者不太清楚的可以在下方评论区留言，小编看到会第一时间回复大家，感谢大家的关注，多多替小编关注下，下节我们讲分段函数的求导法。 |
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