3．2 任意角的三角函数3．2.1 任意角三角函数的定义(一)[学习目标] 1.理解任意角的三角函数的定义.2.掌握三角函数在各个象限的符号．[知识链接]在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图，在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦，余弦，正切分别是什么？答 锐角A的正弦，余弦，正切依次为：sinA＝eq \f(a,c)，cosA＝eq \f(b,c)，tanA＝eq \f(a,b).[预习导引]1．三角函数的定义(1)正弦、余弦、正切如图，在α的终边上任取一点P(x，y)，设OP＝r(r≠0)．定义：sinα＝eq \f(y,r)，cosα＝eq \f(x,r)，tanα＝eq \f(y,x)，分别称为角的正弦、余弦、正切．依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的正弦值、余弦值与之对应：当a≠2kπ±eq \f(π,2)(k∈Z)时，它有唯一的正切值与之对应，因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的正弦函数、余弦函数和正切函数．(2)正割、余割、余切角α的正割：secα＝eq \f(1,cosα)＝eq \f(r,x)；角α的余割：cscα＝eq \f(1,sinα)＝eq \f(r,y)；角α的余切：cotα＝eq \f(1,tanα)＝eq \f(x,y).这就是说，secα，cscα，cotα分别是α的余弦、正弦和正切的倒数．由上述定义可知，当α的终边在y轴上，即α＝kπ＋eq \f(π,2) (k∈Z)时，tanα，secα没有意义；当α的终边在x轴上，即α＝kπ(k∈Z)时，cotα，cscα没有意义．2．三角函数在各个象限的符号3．三角函数的定义域三角函数定义域sinα，cosαRtanα，secα{α|α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}cotα，cscα{α|α≠kπ，k∈Z}要点一 三角函数定义的应用例1 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋eq \f(3,cosα)的值．解 由题意知，cosα≠0.设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝eq \r(k2＋?－3k?2)＝eq \r(10)|k|.(1)当k>0时，r＝eq \r(10)k，α是第四象限角，sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3k,\r(10)k)＝－eq \f(3\r(10),10)，eq \f(1,cosα)＝eq \f(r,x)＝eq \f(\r(10)k,k)＝eq \r(10)，∴10sinα＋eq \f(3,cosα)＝10×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))＋3eq \r(10)＝－3eq \r(10)＋3eq \r(10)＝0.(2)当k<0时，r＝－eq \r(10)k，α为第二象限角，sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3k,－\r(10)k)＝eq \f(3\r(10),10)，eq \f(1,cosα)＝eq \f(r,x)＝－eq \f(\r(10)k,k)＝－eq \r(10)，∴10sinα＋eq \f(3,cosα)＝10×eq \f(3\r(10),10)＋3×(－eq \r(10))＝3eq \r(10)－3eq \r(10)＝0.综上所述，10sinα＋eq \f(3,cosα)＝0.规律方法 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值为sin α＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cos α＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，tan α＝eq \f(b,a).跟踪演练1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－eq \f(2\r(5),5)，则y＝________.答案 －8解析 因为sinθ＝eq \f(y,\r(42＋y2))＝－eq \f(2\r(5),5)，所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.要点二 三角函数值符号的判断例2 判断下列三角函数值的符号：(1)sin3，cos4，tan5；(2)sin(cosθ)(θ为第二象限角)．解 (1)∵eq \f(π,2)<3<π<4<eq \f(3π,2)<5<2π，∴3,4,5分别在第二、三、四象限，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0.(2)∵θ是第二象限角，∴－eq \f(π,2)<－1 0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x，y)的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键．跟踪演练2 已知cosθ·tanθ<0，那角θ是( )A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角答案 C解析 ∵cosθ·tanθ<0，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cosθ<0，,tanθ>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cosθ>0，,tanθ<0.))由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cosθ<0，,tanθ>0，))得角θ为第三象限角．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cosθ>0，,tanθ<0，))得角θ为第四象限角．∴角θ为第三或第四象限角．要点三 三角函数的定义域例3 求下列函数的定义域：(1)y＝eq \f(sinx＋cosx,tanx)；(2)y＝eq \r(－cosx)＋eq \r(sinx).解 (1)要使函数有意义，须tanx≠0，所以x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z且x≠kπ，k∈Z，所以x≠eq \f(kπ,2)，k∈Z.于是函数的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠\f(kπ,2)，k∈Z)))).(2)要使函数有意义，须eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－cosx≥0，,sinx≥0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)≤x≤2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z，,2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z.))解之得2kπ＋eq \f(π,2)≤x≤2kπ＋π，k∈Z.所以函数的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)≤x≤2kπ＋π，k∈Z)))).规律方法 求函数定义域使式子有意义的情况一般有以下几种：①分母不为零，②偶次根号下大于等于零，③在真数位置时大于零，④在底数位置时大于零且不等于1.跟踪演练3 求函数y＝tanx＋eq \f(1,sinx)的定义域．解 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)?k∈Z?，,sinx≠0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)?k∈Z?，,x≠kπ?k∈Z?，))因而x的终边不在坐标轴上，所以函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\co1(x\o(\s\up7( ),\s\do5( ))))x≠\f(kπ,2)，k∈Z)).1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα等于( )A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5)C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(4,5)答案 D解析 因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5，所以cosα＝eq \f(x,r)＝－eq \f(4,5).2．如果角α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则cosα的值等于( )A.eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)答案 A解析 2sin30°＝1，－2cos30°＝－eq \r(3)，∴r＝2，∴cosα＝eq \f(1,2).3．若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cosα＝eq \f(3,5)，则tanα＝( )A．－eq \f(3,4)B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)答案 D解析 ∵cosα＝eq \f(3,\r(32＋y2))＝eq \f(3,5)，∴eq \r(32＋y2)＝5，∴y2＝16，∵y<0，∴y＝－4，∴tanα＝－eq \f(4,3).4．如果sinx＝|sinx|，那么角x的取值集合是________．答案 {x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．2．要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取．3．要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值．一、基础达标1．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若sinα>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα＝－eq \f(x,\r(x2＋y2))，其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析 只有①正确．2．当α为第二象限角时，eq \f(|sinα|,sinα)－eq \f(cosα,|cosα|)的值是( )A．1B．0 C．2 D．－2答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0.∴eq \f(|sinα|,sinα)－eq \f(cosα,|cosα|)＝eq \f(sinα,sinα)－eq \f(cosα,－cosα)＝2.3．角α的终边经过点P(－b,4)且cosα＝－eq \f(3,5)，则b的值为( )A．3B．－3 C．±3 D．5答案 A解析 r＝eq \r(b2＋16)，cosα＝eq \f(－b,r)＝eq \f(－b,\r(b2＋16))＝－eq \f(3,5).∴b＝3.4．若tanx<0，且sinx－cosx<0，则角x的终边在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案 D解析 ∵tanx<0，∴角x的终边在第二、四象限，又sinx－cosx<0，∴角x的终边在第四象限．故选D.5．若三角形的两内角α，β满足sinαcosβ<0，则此三角形必为( )A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．以上三种情况都可能答案 B解析 ∵sinαcosβ<0，α，β∈(0，π)，∴sinα>0，cosβ<0，∴β为钝角．6．已知tanx>0，且sinx＋cosx>0，那么角x是第________象限角( )A．一B．二 C．三 D．四答案 A解析 ∵tanx>0，∴x是第一或第三象限角．又∵sinx＋cosx>0，∴x是第一象限角．7．角α的终边上一点P的坐标为(4a，－3a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值．解 由题意有x＝4a，y＝－3a，故r＝eq \r(?4a?2＋?－3a?2)＝5|a|.(1)当a＞0时，α是第四象限的角，所以sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3a,5a)＝－eq \f(3,5)，cosα＝eq \f(x,r)＝eq \f(4,5)，故2sinα＋cosα＝－eq \f(2,5).(2)当a<0时，α是第二象限的角，所以sinα＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3a,－5a)＝eq \f(3,5)，cosα＝eq \f(x,r)＝－eq \f(4,5)，故2sinα＋cosα＝eq \f(2,5).综上，2sinα＋cosα的值为±eq \f(2,5).二、能力提升8．若tanα>0，则( )A．sin2α>0 B．cosα>0C．sinα>0 D．cos2α>0答案 A解析 ∵tanα>0，∴α∈(kπ，kπ＋eq \f(π,2))(k∈Z)是第一、三象限角．∴sinα，cosα都可正、可负，排除B，C.而2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)，即2α为第一、二象限角，故cos2α可正、可负，排除D，选A.9．已知α终边经过点(3a－9，a＋2)，且sinα>0，cosα≤0，则a的取值范围为________．答案 (－2,3]解析 ∵sinα>0，cosα≤0，∴α终边位于第二象限或y轴正半轴上，∴3a－9≤0，a＋2>0，∴－20.(2)∵π<4<eq \f(3π,2)，∴4是第三象限角，∵－eq \f(23π,4)＝－6π＋eq \f(π,4)，∴－eq \f(23π,4)是第一象限角．∴sin4<0，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4)))>0，∴sin4taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4)))<0.(3)∵θ为第二象限角，∴00，sin(cosθ)<0，∴eq \f(sin?cosθ?,cos?sinθ?)<0.三、探究与创新13．已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sinα，cosα，tanα的值．解 当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，得sinα＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，cosα＝eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5)，tanα＝2；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(－1，－2)，由r＝|OQ|＝eq \r(?－1?2＋?－2?2)＝eq \r(5)，得sinα＝eq \f(－2,\r(5))＝－eq \f(2\r(5),5)，cosα＝eq \f(－1,\r(5))＝－eq \f(\r(5),5)，tanα＝2. |
