《2018年浙江衢州压轴题——菱形存在性问题处理策略》

金色的六月，收获的中考，学子捷报频频，师者桃李满天下.

本系列将针对2018年全国各地中考数学压轴题，结合本人新著《广猛说题——中考数学压轴题破解之道》进行详细解说，说一题，会一类，通一片.

本文选择的是2018年浙江衢州卷中的最后一道解答题.

三、解后反思

3.1 角的存在性问题之正切处理

本题（2）中第①小问是一个小清新的角处理问题，当目标角含有一条水平边或竖直边时，可构造直角三角形，直接利用正切值进行计算，其核心结构如右图所示；

当目标角的两条边既不含有水平边，也不含有竖直边时，一般也可以先构造直角三角形，再构造“一线三直角”，其核心结构如右图所示.

这里其实也算是正切处理，但因为构造的直角三角形三边都是斜置的，不好表示，因而继续构造“一线三直角”，达到化斜为直之效，而这里的tana提供了相似比.

3.2 菱形存在性问题处理策略

最后一个问题是一个典型的菱形存在性问题，其基本的解题之道还要追溯到菱形的概念中来：菱形的“爸爸”是平行四边形；菱形的“妈妈”是等腰三角形.菱形兼具二者的特性，即有一组邻边相等的平行四边形是菱形.故而遇到菱形的存在性问题时，常可以结合平行四边形和等腰三角形来分析问题.

上述解法中，先巧设直线CD上的点Q的坐标，利用平行四边形的性质表示出动点M的坐标，再结合邻边相等列出方程，进而求解.

当然本题还有一个难关，那就是分类关.虽然题目已指定“OB为边”，但点M与点Q的顺序未定，可能是菱形OBQM，也可能是菱形OBMQ，即需分两类进行计算.

另外，本题还可以先从邻边相等下手，分两类展开，即BQ＝OB或OQ＝OB，据此求出直线CD上的点Q的坐标，然后利用平行四边形的性质，求出点M的坐标，两种方法，仅仅是操作的顺序不同，但殊途同归，都是处理菱形存在性问题的常见方法.

本题若去掉条件“OB为边”，这个问题将更加有趣，请思考下面的变式问题：

变式：请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以O、B、M、Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值.

瞧！菱形的“爸爸”是平行四边形，菱形的“妈妈”是等腰三角形，“爸爸”与“妈妈”的结晶体，才会有“菱形”这个特殊的“小宝贝”，是啊，他们是一家人！

明天，我们的孩子们就要进行中考数学了，在此默默地祝愿他们，人人得志，取得让自己满意，让师长骄傲的战绩，你们必胜，中考加油！

关于角的存在性问题、平行四边形存在性问题以及等腰三角形存在性问题的处理策略，本人新书《广猛说题——中考数学压轴题破解之道》中都有详细解读，请参考.

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