第19讲 万有引力定律及应用 第20讲 人造卫星

第19讲 万有引力定律及应用

第20讲 人造卫星

知识点总结

一、开普勒三大定律

第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上；

第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等;

第三定律：行星轨道半长轴的立方与其周期的平方成正比，即=k

开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟答的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。

（二）万有引力定律及其应用

1、内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比.

2、公式：

定律的适用条件：用于计算引力大小的万有引力公式一般只适用于两质点间引力大小的计算，如果相互吸引的双方是标准的均匀球体，则可将其视为质量集中于球心的质点。

r表示两个具体物体相距很远时，物体可以视为质点.如果是规则形状的均匀物体，r为它们的几何中心间的距离.单位为“米”.

G为万有引力常量，G=6.67×10^-11，单位为N·m²/kg².是由卡文迪许发现的。

1、基本方法：

　　把天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力都是来自万有引力，即：

，应用时根据实际情况选用适当的公式进行分析。

2、天体质量M、密度ρ的估算：
测出卫星围绕天体作匀速圆周运动的半径r和周期T，由

得：，（当卫星绕天体表面运动时，）

3、人造地球卫星各运动参量随轨道半径的变化关系。

　　这里特指绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，实际上大多数卫星轨道是椭圆，而中学阶段对做椭圆运动的卫星一般不作定量分析。

　　由于卫星绕地球做匀速圆周运动，所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力，于是有

由此可知：绕地球做匀速圆周运动的卫星各个参量随轨道半径r的变化情况分别如下：

(1)向心加速度a_向与r的平方成反比.

当r取其最小值时，a_向取得最大值a_向max==g=9.8m/s²

(2)线速度v与r的平方根成反比v=

当r取其最小值地球半径R时，v取得最大值. v_max===7.9km/s

(3)角速度ω与r的三分之三次方成反比ω=

当r取其最小值地球半径R时，ω取得最大值. ω_max==≈1.23×10^－3rad/s

(4)周期T与r的二分之三次方成正比. T=2

当r取其最小值地球半径R时，T取得最小值. Tmin=2=2≈84 min

3、卫星绕行速度、角速度、周期与半径的关系：

（1）由得：，即；（r越大，v越小）

（2）由得：，即；（r越大，ω越小）

（3）由得：，即；（r越大，T越大）

说明：

①卫星环绕半径r与该轨道上的线速度v、角速度ω、周期T、向心加速度a存在一一对应关系，一旦r确定，则v、ω、T、a皆确定，与卫星的质量m无关。

②对于环绕地球运动的卫星，若半径r增大，其周期T变大，线速度v、角速度ω、向心加速度a变小；若半径r减小，其周期T变小，线速度v、角速度ω、向心加速度a增大。

4、运行速度和发射速度：

对于人造地球卫星，由得：，该速度指的是人造地球卫星在轨道上的运行速度，其大小随轨道半径的增大而减小。但由于人造地球卫星发射过程中要克服地球引力做功，势能增大，所以向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难，将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面所需要的发射速度就越大。宇宙速度就是常见的发射速度：

（1）三个宇宙速度

对于人造地球卫星，由得：，该速度指的是人造地球卫星在轨道上的运行速度，其大小随轨道半径的增大而减小。但由于人造地球卫星发射过程中要克服地球引力做功，势能增大，所以向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难，将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面所需要的发射速度就越大。宇宙速度就是常见的发射速度：

a、第一宇宙速度（环绕速度）：v1＝7.9km／s；（地球卫星的最小发射速度）

b、第二宇宙速度（脱离速度）：v₂＝11.2km／s；（卫星挣脱地球束缚的最小发射速度）　　

c、第三宇宙速度（逃逸速度）：v₃＝16.7km／s．（卫星挣脱太阳束缚的最小发射速度）

（2）宇宙速度的意义

当发射速度v与宇宙速度分别有如下关系时，被发射物体的运动情况将有所不同

①当v＜v₁时，被发射物体最终仍将落回地面；

②当v₁≤v＜v₂时，被发射物体将环境地球运动，成为地球卫星；

③当v₂≤v＜v₃时，被发射物体将脱离地球束缚，成为环绕太阳运动的“人造行星”；

④当v≥v₃时，被发射物体将从太阳系中逃逸。

5、卫星的变轨问题：

卫星绕天体稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力。由

得：，由此可知轨道半径r越大，卫星的速度越小。当卫星由于某种原因速度突然改变时，F和不再相等，因此就不能再根据来确定r的大小。当时，卫星做近心运动；当时，卫星做离心运动．

6、地球同步卫星：

（1）所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的和地球具有相同周期的卫星，T＝24小时．

（2）轨道平面必与赤道平面重合；高度为确定的值。

证明如下：

如图假设卫星在轨道 B上跟着地球的自转同步地作匀速圆周运动，卫星运动的向心力来自地球对它的引力F_引，F_引中除用来作向心力的F₁外，还有另一部分F₂，由于F₂的作用将使卫星运行轨道靠向赤道，只有赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道上运行。
由得：（ω₀为地球自转的角速度）

得h＝r－R₀＝35800km是一个定值。

（3）环绕速度：在轨道半径一定的条件下，同步卫星的环绕速度也一定，且为v＝3.08（km／s）

（4）变轨道发射：发射同步卫星，一般不采用普通卫星的直接发射方法，而是采用变轨道发射，如图：

首先，利用第一级火箭将卫星送到180～200km的高空，然后依靠惯性进入圆停泊轨道（A）；当到达赤道上空时，第二、三级火箭点火，卫星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道（B），且轨道的远地点（D）为35800km；当到这远地点时，卫星启动发动机，然后改变方向进入同步轨道C。这种发射方法有两个优点：一是对火箭推力要求较低；二是发射场的位置不局限在赤道上。

7、万有引力与重力的关系

如图所示，在纬度为φ 的地表处，物体所受的万有引力为F=

而物体随地球一起绕地轴自转所常的向心力为

方向垂直于地轴指向地轴，这是物体所受到的万有引力的一个分力充当的，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg，严格地说：除了在地球的两个极点处，地球表面处的物体所受的重力并不等于万有引力，而只是万有引力的一个分力。

　　由于地球自转缓慢，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，在此基础上就有：地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即

≈mg

　　这是一个分析天体圆运动问题时的重要的辅助公式。