高中物理 | 磁场对运动电荷的作用问题

一、洛伦兹力的大小

1、推导洛伦兹力公式

已知长为l的直导线通有电流I时，在方向垂直于导线的磁场中受到的安培力为F＝BIl，其中B为磁感强度，试由此公式导出单个运动电荷在磁场中所受的洛伦兹力f的表达式。

令长为l的一段直导线，其中的电流强度为I，处在磁场强度为B的磁场中，导线与磁场垂直，则磁场作用于这段导线上的安培力的大小为：

F＝BIl    ①

设此导线的截面积为S，其中每单位体积中有n个自由电荷，每个自由电荷的电量为q，定向运动的速度为v，在所考查的某一截面前方的一段长为v△t，截面积为S的柱体中的自由电荷经过△t时间，便全部通过所考察的截面，这柱体的体积为，其中的自由电荷数为，故△t时间内通过所考察截面的电量

   ②

于是通过导线的电流强度

   ③

将式③代入①，得

    ④

式④中lS为受安培力作用的那段导线的体积，nlS为其中的自由电荷的总数，式④表示F是作用在nlS个自由电荷上的合力，每个自由电荷的电量为q，运动速度为v，于是磁场对每个自由电荷的作用力，即。

这就是磁场对一个运动电荷的作用力，即洛伦兹力。

2、洛伦兹力与安培力的关系

安培力是洛伦兹力的宏观表现，洛伦兹力是安培力的微观解释。

电流是带电粒子定向运动形成的，通电导线在磁场中受到磁场力（安培力）的作用，揭示了带电粒子在磁场中运动时要受磁场力作用的本质。

3、大小关系。

式中的N是导体中的定向运动的电荷数。

 

二、洛伦兹力的方向

洛伦兹力的方向可用左手定则来判断：张开左手使大拇指与其余四指垂直且在同一平面内，让磁感线垂直穿过手心，若四指指向正电荷运动的方向，则大拇指所指的方向就是正电荷所受的洛伦兹力的方向。若沿该方向运动的是负电荷，则它所受的洛伦兹力的方向与正电荷恰好相反。

说明：

1、我们只研究电荷的运动方向与磁场方向垂直的情况，由左手定则可知，洛伦兹力的方向既与磁场方向垂直，又与电荷的运动方向垂直，即洛伦兹力垂直于v和B两者所决定的平面。

2、由于洛伦兹力F总是跟运动电荷的速度方向垂直，所以洛伦兹力对运动电荷不做功，洛伦兹力只能改变电荷速度的方向，不能改变速度的大小。

例1、有一质量为m，电量为q的带正电的小球停在绝缘平面上，并处在磁感强度为B、方向垂直指向纸里的匀强磁场中，如图1，为了使小球飘离平面，匀强磁场在纸面内移动的最小速度应为多少？方向如何？

图1

解析：带电小球不动，而磁场运动，也可以看做带电小球相对于磁场沿相反方向的运动，故带电小球仍受磁场的作用力，欲使小球飘起，而带电小球仅受重力和洛伦兹力作用。那么带电小球所受的最小洛伦兹力的方向竖直向上，大小为，由左手定则可以判断出小球相对磁场的运动方向为水平向右，所以带电小球不动时，磁场应水平向左平移。

设磁场向左平移的最小速度为v，由F＝qvB及F＝mg，

得：

由左手定则，磁场应水平向左平移。

 

三、电场力与洛伦兹力的比较

1、电荷在电场中一定要受到电场力的作用，而电荷在磁场中不一定受磁场力作用，只有相对于磁场运动且运动方向与磁场不平行的电荷才受磁场力作用，而相对磁场静止的电荷或虽运动但运动方向与磁场方向平行的电荷则不受磁场力作用。

2、电场对电荷作用力的大小仅决定于场强E和电量q，即F＝qE；而磁场对电荷的作用力大小不仅与磁感应强度B和电荷电量q有关，还与电荷运动速度的大小v及速度方向与磁场方向的夹角有关，即。

3、电荷所受电场力的方向总是沿着电场线的切线（与电场方向相同或相反），而电荷所受磁场力的方向总是既垂直于磁场方向，又垂直于运动方向（即垂直于磁场方向和运动方向所决定的平面）。

4、电荷在电场中运动，电场力要对运动电荷做功（电荷在等势面上运动除外），电荷的动能、动量发生改变；而电荷在磁场中运动时，磁场力一定不会对运动电荷做功，电荷的动能不变，动量改变。

 

四、带电粒子在磁场中的运动特点

带电粒子在磁场中的运动往往比较复杂，我们只考虑其中几种特殊情况：

不考虑粒子本身的重力（一般如：电子、质子、粒子、离子等不考虑它们的重力）；磁场为匀强磁场。

1、初速度与磁场平行：

此时洛伦兹力F＝0，粒子将沿初速度方向做匀速直线运动。

2、初速度与磁场垂直：

由于洛伦兹力总与粒子运动方向垂直，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，其向心力由洛伦兹力提供，

所以其轨道半径为，运动周期为。由此可见：荷质比相同的粒子以相同的速度进入同一磁场，其轨道半径相同；带电量相同的粒子以相同的动量进入同一磁场，其轨道半径相同。它们运动的周期T与粒子的速度大小无关，与粒子的轨道半径R无关，只要是荷质比相同的粒子，进入同一磁场，其周期相同。

五、带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的圆心及半径的确定

1、圆心的确定

因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点）的F的方向，沿两个洛伦兹力F画其延长线，两延长线的交点即为圆心。或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置。

2、半径的确定和计算

利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角）。并注意以下两个重要的几何特点：

①粒子速度的偏向角（）等于回旋角（），并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）的2倍（如图2），即。

图2

②相对的弦切角（）相等，与相邻的弦切角（）互补，即180°。

3、粒子在磁场中运动时间的确定

利用回旋角（即圆心角）与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角的大小，由公式，可求出粒子在磁场中的运动时间。

4、注意圆周运动中有关对称规律

如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。

例2、如图3所示，一束电子（电量e）以速度垂直射入磁感应强度B，宽度d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与电子原来的入射方向夹角为30°，则电子的质量为________在磁场中的运动时间是________。

图3

解析：如图4所示，由几何关系可以确定圆心既在过A点的竖直线上，又在过B点垂直速度的线上，所以确定圆心在二线交点O，轨迹对应的圆心角为30°，在磁场中的运动时间，由图可看出轨道半径，又，所以，代入时间公式得。

图4

答案：

 

例3、如图5所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E，一质量为m，电量为－q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出，射出之后，第三次到达x轴时，它与O点的距离为L，求此粒子射出时的速度v和运动的总路程s（不计重力）。

解析：粒子运动路线如图6所示，似拱门形状，有

   ①

粒子初速度为v，则有

    ②

由①、②式可得：

设粒子进入电场做减速运动的最大路程为l，加速度为a，，，粒子运动的总路程，由以上各式，得

例4（带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界与极值问题）、如图7所示，一带正电的质子从O点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场，已知两板之间距离为d，板长为d，O点是板的正中间，为使粒子能射出两板间，试求磁感应强度B的大小（质子的带电量为e，质量为m）。

图7

解析：第一种极端情况从M点射出，此时轨道的圆心为O′点，由平面几何知识可得

而带电粒子在磁场中的轨道半径，

第二种极端情况是粒子从N点射出，此时粒子正好走了半个圆，其轨道半径为。

综合上述两种情况，得。

 

例5、如图8所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边的中点O处，垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为的带电粒子。已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为l，重力影响不计。

（1）试求粒子能从ab边射出磁场的值。

（2）在满足粒子从ab边射出磁场的条件下，粒子在磁场中运动的最长时间是多少？

解析：（1）由于有界磁场区域的限制，使带电粒子由ab边射出磁场时的速度有一定的范围。以的较小值和较大值为临界值，可知当较小时，运动轨迹恰好与ab边相切；当较大时，则恰好与dc边相切，然后从ab边穿出，如图9所示。

当速度较小为时，有。

解得

又由半径公式，可得。

当速度较大为时，有。

又由半径公式，可得。

可见，带电粒子在磁场中从ab边射出时，其速度范围应为：

（2）带电粒子在磁场中运动的周期为。要使带电粒子运动的时间长，其运动轨迹所对的圆心角应最大。所以当速度为时，粒子在磁场中运动的时间最长。即有