多才多艺的数学大师—莱布尼茨

莱布尼茨和牛顿都是公认的微积分创始人，但由于一些原因，莱布尼茨的知名度并不如牛顿。我们纵观莱布尼茨的一生，发现他在众多领域中都有卓越的贡献，这些领域除了数学之外，还包括物理、政治、历史、法律、文学、哲学、宗教等等。莱布尼茨在他的那个时代，当之无愧是样样皆通、多才多艺的大师。同时，他的思想和成就也影响深远，直至今日。

1646年7月1日，莱布尼茨出生于德国莱比锡的一个书香门第，父亲是莱比锡大学的伦理学教授。在这样良好的氛围中，莱布尼茨从小就显露出非凡的天赋。而相较于学校里枯燥的学习，莱布尼茨更喜欢待在家里自学。通过自学，他很快就掌握了拉丁文和希腊语，还从父亲的藏书中找到了对历史的浓厚兴趣。15岁时，莱布尼茨进入莱比锡大学主修法律，同时学习历史和哲学。在这里，莱布尼茨逐渐接触到了伽利略和笛卡尔等人的著作，他们的著作与前人注重思辨和逻辑不同，更多的是通过数学来进行分析，这给了莱布尼茨耳目一新的感觉，于是他又开始学习更多的数学，尤其是几何学，因为欧式几何严密的体系深深引发了莱布尼茨对数学的兴趣。

大约在这个时候，一种“普遍数学”的想法在莱布尼茨头脑中开始形成，他想利用数字和符号来进行思考，从而摆脱语言的不确定性。他觉得笛卡尔重视代数方法是很正确的，但他也认为代数不应仅仅局限在表示数量关系上，还可以用在逻辑推理上，以代数运算代替推理过程。为此他连夜将自己的想法写了下来，完成了一篇名为《论组合的艺术》的论文。经过进一步的研究，莱布尼茨获得了一些今天逻辑代数中的结果，而且直接或间接地提出了“逻辑和”、“逻辑积”、“空集”和“包含”等一系列重要概念。莱布尼茨也意识到自己想法的不成熟，将自己的论文戏称为“学童论文”。但事实上，莱布尼茨已经可以看做数理逻辑学的创始人。

莱布尼茨关于法律的博士论文深受当局赏识，于是他得以进入政府工作，然而这也恰恰为其悲剧性的人生结尾埋下了祸根。作为王公贵族的官员，莱布尼茨疲于奔命，完成各种意义不大的任务，大部分时间都在路上，很多时候只能在马车里写下他的想法。这段时间内，莱布尼茨几乎停下了对数学的思考。

1672年，莱布尼茨出使巴黎，这次经历彻底影响了他的一生，因为他遇到了一个重要人物—惠更斯。莱布尼茨会见惠更斯的时候，得知了他利用数学方法证明了复摆的等时性，这使得莱布尼茨更加看到了数学的强大威力。于是莱布尼茨请求惠更斯给他上课，惠更斯面对这么一位聪明绝顶的学生，一下子就欣然接受了。之后莱布尼茨跟随惠更斯学习到了大量数学知识，接触了很多大师著作，为之后的成就奠定了基础。

1673年，莱布尼茨来到伦敦，结识了巴罗和牛顿等人，进行了一些深入的思想交流。特别是巴罗关于变量局部关系的工作给他留下了深刻印象。恰巧在这时，莱布尼茨接触到了帕斯卡的著作《四分之一圆的正弦论》，文中以小圆弧代替切线，求出来了斜边为圆弧的“梯形”面积，这给了莱布尼茨很大的启发。莱布尼茨自此开始对这类问题不懈的研究，写就了大量手稿。1675年，他完成了自己第一篇关于微积分的论文《切线的相反方法的例子》，文中明确断言，积分和微分是互逆过程，这也就是后来著名的牛顿-莱布尼茨公式的雏形。第二年，莱布尼茨又提出，求切线的关键就是求曲线斜率，也就是导数。

接下来几年，莱布尼茨再接再厉，给出了函数的和、差、商、积的求导公式，还有幂函数的求导与积分法则，后来莱布尼茨还得到了微积分的一系列应用成果。不仅如此，莱布尼茨对微积分的另一大贡献就是他的符号系统，如今微积分的大部分记号均出自莱布尼茨之手。莱布尼茨是欧洲大陆学派的奠基人，后来这一学派在伯努利家族的发扬下，为科学发展做出来大量贡献。而此时的英国科学因为牛顿与莱布尼茨之争，几乎断绝与欧洲大陆的交流来往，造成了在长时间内落后的不利局面。

在数学上除了微积分之外，莱布尼茨的另一大贡献就是他关于计算机的研究，但由于历史因素，这一方面的成果并不广为人知。“普遍数学”的思想一直在莱布尼茨头脑中萦绕，他想以代数运算代替推理过程，使思维自动化，也想让单调重复的运算机器化，以便提高数学效率。1642年帕斯卡曾设计出了一种可以进行10进制加减运算的计算机，莱布尼茨受此启发，在1671年设计出了可以进行加减乘除和开平方运算的计算机。即使还未真正造出来，莱布尼茨的计算机就已经引起了巨大轰动，等真正制造完成的时候，很多人都迫不及待地想一睹真容。但莱布尼茨并不满足于此，他觉得平常的10进制在计算机上实现起来过于复杂，于是开始寻求一种简单的表示方法，二进制也就这样诞生了，这是莱布尼茨对科学的另一大重要贡献。莱布尼茨对中国文化特别痴迷，尤其是《周易》这样的著作。有意思的是，莱布尼茨为了表达自己对中国文化的推崇，曾经把自己的计算机当做贡品进献给了当时的康熙皇帝。

在莱布尼茨和牛顿的时代，数学只是哲学的一部分，而莱布尼茨的研究范围自然也包括哲学。莱布尼茨在哲学上以他的“单子论”著称，他认为万物的基础是单纯的、不可扩展的精神实体—单子，这也就是无限小的思想。20世纪60年代左右，美国逻辑学家鲁滨逊等人以数理逻辑的模型和方法发展了无限小的思想，建立了分析下非标准模型，对现代数学思想的发展产生了巨大影响。莱布尼茨是德国古典哲学的先驱，也是客观唯心主义的代表人物，他的哲学思想中总是有辩证法的影子。

莱布尼茨作为律师和法学家（其实这才是他的本职工作）同样声名赫赫。他为新兴的资产阶级积极宣传法制思想，并且在历史上首先提出了国际法，为法律的发展做出来了诸多有影响的贡献。而对于科学，他不仅是先驱，也是领导。他创建了柏林科学院并担任第一任院长，而且还帮助俄国筹办了圣彼得堡科学院，这两个机构都在今后的科学发展中扮演了中心角色。当然，莱布尼茨的贡献绝不仅仅局限于这些，我们所提到的也只是冰山一角。据统计，莱布尼茨一生曾在41个不同的领域留下过自己的足迹，如今很多学科都尊莱布尼茨为创始人和开拓者。

而与光辉成就形成鲜明对比的却是他凄凉的晚年。莱布尼茨的一生，说到底都在为王公贵族服务，而自己则只是他们的一枚棋子。作为汉诺威王国的外交官和不伦瑞克家族的管理人，他为此消耗了大量精力，贡献了一生，晚年时的他已经老态龙钟和疾病缠身了，还被外界与牛顿的争论折磨得痛苦不堪。1714年，他的东家—汉诺威选帝侯乔治一世兴致勃勃地前往英国继承王位，莱布尼茨仍然放不下对名利的追求，非常盼望能够一同前往，可以安度晚年。但已经没有任何利用价值的莱布尼茨遭到了拒绝，乔治一世随便地打发他在汉诺威的图书馆里编修不伦瑞克家族的家谱，让他和这些无聊的东西共度晚年。想起曾经的辉煌，不知此时的莱布尼茨心中究竟有多凄凉！

1716年11月14日，奔波一生且终身未娶的莱布尼茨在汉诺威悄无声息地离开了人世。与牛顿万众瞩目的国葬相反，参加莱布尼茨葬礼的只有他的秘书和几个掘墓的工人，没有送葬队伍更没有悼词。寒风萧瑟，四处静谧，只有掘土的声音在空中回响。莱布尼茨终于得以安息……