计算：微积分可以解决什么样的问题

数学是科学的灵魂，而科学又是技术的源头，技术又是生产力增加、生活条件提升的必要条件。

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有两个问题非常典型，说出来大家觉得稀松平常，但真的让你严格地说明为什么，很少有人能给出答案。

• 第一个问题是，比如有两根电线杆，之间接着一根电线，这电线它一定不是绷直的，它肯定是自然下垂的，那么这根电线如果足够柔软，它略微下垂的样子满足什么规律呢？
• 第二个问题，一点 A 比较高，比如它是滑梯的顶部，还有一点 B 比较低，它是滑梯的底部，那我们怎么设计滑梯，才能让一个小球从 A 滚落到 B 的时候花费的时间最少呢？

悬链线问题

第一个问题，现在被称为悬链线问题。

有记载的，第一个研究它的是达芬奇。

虽然现在达芬奇更多的是以艺术家的身份出现的，但其实他在世的时候更多的是一个多面手，是一个杂家。达芬奇考虑这个问题是出于实际的需要，因为那会儿画画，不论是画人还是画物体，都要尽量的拟真，所以那时候有些画家就不惜被判刑，夜里偷偷地去偷尸体作解剖，就想找到肌肉跟骨骼的连接结构，这样才能更好地把握人体在外部看过去的细节。

达芬奇有一幅画叫《抱着银貂的女子》，女人的脖子上有一串项链，但具体这个项链应该怎么画它自然下垂的样子呢？它垂下来应该是怎么一条曲线呢？达芬奇当时是想不明白的。

抱着银貂的女子

这个问题一放就是100年，后来伽利略出现了，伽利略就猜悬链线应该是一条开口朝上的抛物线，其实这只是猜测，更多地源于这抛物线的外形跟悬链线真的很像。

又过了50年，有一个17岁的数学家叫惠更斯给出了证明，但是他只证明了伽利略在晚年猜的抛物线结论是错的，正确的应该是什么线，惠更斯当时还是不知道的。但这个时候距离问题解决已经不远了。

• 惠更斯是在伽利略给出猜测之后8年证明伽利略是错的，这一年是1646年。而正好是这一年，莱布尼茨出生了，而牛顿也已经3岁了。只要这两位伟人今后长大了，微积分就会应运而生，之后就能解决这个问题。

后来牛顿跟莱布尼茨，两个人独立发明了微积分，但是对于谁先发明的却争了起来，而且这两个人当时已经算是很有名望、很有地位的人了。牛顿是皇家学会的会长，莱布尼茨，那是跟康熙皇帝有过书信往来的人，之后两个人的争吵在欧洲数学界掀起了血雨腥风。

科学世家伯努利家族

站在莱布尼茨这边的帮手最有名的就是伯努利家族，这个家族不但是一个等级比较高的贵族，而且在科学史上也是赫赫有名。

• 科学史上统计，有超过100个姓伯努利的人从事了跟科学或者跟文化有关的研究工作。

跟牛顿正面对抗的两个伯努利是兄弟两个人，哥哥叫雅克布·伯努利，弟弟叫约翰·伯努利，这两个人相差了13岁，他们是伯努利家族科学世家的第一代。

哥哥在巴塞尔大学任数学系教授的时候，弟弟刚刚入大学。弟弟约翰从小的数学就是哥哥教的，别看弟弟小了13岁，但却是一个傲骄的，好胜心非常强，爱吵架的性格。等到他青春期之后，就不愿意再被哥哥压着了。可是哥哥这些年都习惯了，当着别人介绍的时候都会说这是我的弟弟，也是我的学生约翰·伯努利。老这么介绍，就让弟弟非常不爽，弟弟就觉得自己在数学方面的天分比哥哥强得多，只不过是你大了我13岁而已，学习的年头比我多了。如果给我一样的时间，我肯定能够超过你。

所以，后来弟弟不愿意再跟哥哥手下学数学，上了大学之后，就转而拜莱布尼茨为老师。

在莱布尼茨的手下，约翰·伯努利确实得到了真传，水平“蹭蹭蹭”地增，23岁的时候他就发现哥哥在这1年里一直研究，“一条锁链随意地悬挂，到底会出现一条什么曲线？”这个问题，也就是我们刚刚说到的悬链线问题。哥哥研究1年也没什么进展，然后又把这个问题作为一个有奖的悬赏发布出来了。

悬挂的锁链

通过有奖悬赏寻找问题的答案，这是科学史上曾经一种国家对科研经费支出的重要形式，最早是从法国科学院开始兴起的。

就是每年科学院都会组织院士在几个领域中想出一些关键性问题。

一般这些问题都是偏重于能马上跟实际的应用相结合的，比如说求一下这帆船的帆应该设计成什么样，才能最大效率地利用风能呢？就是这样的问题。然后把问题的悬赏发布出去，等收到回信之后，从里面评选出一份最佳的答案，然后予以重奖。每年的参与者都是整个欧洲成百上千的科学家。

国家对科研经费的支出，其实很晚才出现了像今天这样类似预付款的形式：

• 就是你先提计划，打算干什么，打算要多少钱，干完了之后能出现什么效果，这个效果价值几何，把这些写在申请材料里头说清楚递交过来。东西先不用做出来，国家看完这些申请，依据它的可行性，然后给它批钱，这是现在的模式。

但是在300年前，都是等问题完全解决了之后才把钱发下去的。

当年法国的一些贵族也效仿科学院，把自己认为有价值的问题以悬赏的方式公布出去，像伯努利家族这么有名望，发出问题之后也有不少的响应。悬链线问题发布不久之后，收到了很多来信，大多数都是错的，但是其中有3封的结果是正确的：

• 一封来自莱布尼茨，你想人家是微积分工具的发明人，自然很有可能解出来。
• 还有一封来自惠更斯，雅克布知道，这个人17岁的时候曾经是只证明了伽利略的悬链线结果是错的，但是当年他没有证明悬链线到底是什么，结果没想到，现在62岁了，竟然把这个结果给求出来了。这就相当于抗日战争结束的时候他出现过一次，冒过一次头，结果90年代国企改革的时候，又再次出现，把这个问题给解决了，真是挺吓人的。
• 但是更吓人的还有第三封，它来自约翰·伯努利，是自己的弟弟。这就让哥哥倒吸一口凉气，晚上吃饭的时候弟弟故意来问哥哥，说信收到了吗？哥哥没说话，只是默默地点了点头，弟弟就故意感叹到说，真是个难题，花了我整整一天一夜才得到了答案。而哥哥知道，这个问题已经花了自己1年的时间都没有解决。

那到底这根线是什么方程呢？

现在我们叫它双曲余弦函数，这个是在理工科本科的数学基础课中会涉及到的。

双曲余弦函数

今天我们要从微积分解决悬链线的故事中得到一个什么科学上的收获呢？

我想有人可能听到这个故事就会为达芬奇，为伽利略感到遗憾，他们怎么就错过了这问题的解决呢？或者心里多少期待着在达芬奇那个年代，怎么米开朗基罗、拉斐尔这些画家为什么没有解决这个问题呢？

这种情绪是因为不了解科学发展导致的。

项链是怎么下垂的，这个问题说出来好像是一种单摆浮搁的问题，但其实每个学科的发展都是有脉络的，具体知识成果什么时候出现，是存在先后条件的，数学也是如此。

凡是科学问题都存在着这么一个看问题的角度，就是预先先把它定位，哪怕是在现在，搞科研的人写论文，格式也都是在讨论研究的问题之前，先得花一些篇幅说明将要讨论的这个问题处在这个领域哪个阶段的研究，在之前都有过哪些成果，将要讨论的内容会触及到哪些别人从没有触碰过的范围，将会在哪儿尝试作出突破，然后在论文写完之后，也要做一个前后呼应，这个突破性的尝试，会影响到后续哪些领域，这个就是科学中的定位思考。

以悬链线的发展来看，它在数学发展的什么节点呢？

我们知道，古希腊时期，数学曾经达到过一个比较高的巅峰，公元前200年左右，这个高度大约就是后来牛顿时代微积分的水平了。

可是后来一直在衰退，一直在跌落，跌落到谷底又慢慢回升，在公元1500年，数学界的典型水平，就是能够顺利地解决二次方程的各种问题了。

在1600年以后，数学界就可以顺利地解决三次方程，四次方程了，但是这个距离解决悬链线还远不够，它只能等到微积分工具出现之后才可以，也就是大约1680年以后。

以我们现在的高度来俯视这个问题，悬链线的解是一个超越函数，而多少次多少次方程，还都只是代数函数，这两种东西的难易程度是不可同日而语的。

微积分工具诞生之前，再天才的人物也不可能解决这个问题，除非这个天才在解决这个问题的过程之中，顺手把微积分这个工具创立出来才可以。

也许这样一步一步发展过来的世界显得不那么奇妙，曾经教科书里印象中那些伟大的历史人物，也不再像从前那么神奇了，他们的伟大，更多是体现在同时代的对比上，但这个才是科学世界本来的样子。