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潘永城 退休高级工程师 潘昊楠 吉林大学物理学院大三学生 本文摘要 本文在严格圈定最基本概念内涵的基础上，通过引进“空间公理”、“置点公理”、“运动公理”、“图形公理”和“合同公理”，严格地定义了“球”、“直线”和“平面”这些概念．成功地证明了欧几里得（Euclid）的“第五公设”，即平面上过直线外一点可以引一条直线与已知直线平行，并且仅可以引一条直线和已知直线平行。也就是说，成功地将“平行公理”变成了“平行定理”．这样就证明了，空间是“平直”的，即只有欧几里得几何才是对空间性质的正确描述，其它几何（罗巴切夫斯基(Lobatchevsky)几何和黎曼(Riemann)几何）仅仅是一套逻辑自洽系统．
自欧几里得(Euclid)在《几何原本》一书中，规定了5条公设和5条公理，定义了23个基本概念[1]之后，整个数学界都围绕这些基本概念讨论几何学，并通过否定第五公设得到了两种“非欧几何学”．希尔伯特(Hilbert)在《几何基础》一书将“点”、“直线”、“平面”规定为不定义，紧靠公理约束内涵的基本元素，最终将“几何学”变成了一套和空间性质无关的逻辑自洽系统[2]． 笔者在本文中完全脱离欧几里得给出的公设和公理，在重新提出一套公理和重新圈定基本概念内涵的前提下，重新夯实几何学的基础． 我们略去了对基本概念的定义，和欧几里得给出的定义内涵相同的概念我们不做解释，内涵不同的概念我们将在首次出现时给予说明．对于“球”、“直线”和“平面”将给出精准的定义． 1.假设、工具和公理 1.1 基本假设 我们认定直尺棱的直线特性、圆规两脚张开程度决定的两脚尖端的距离以及膜平面的平面属性不因所处空间位置的不同而改变，也不因外界环境（如温度、压力、光照、辐射和各类场）的不同或内部应力改变而变化．即认为直尺、固定两脚张开程度后的圆规以及膜平面都是绝对刚体． 1.2 使用的工具 1.笔，2.圆规，3.直尺，4.膜平面． 1.3 公理 1.3.1 公理Ⅰ（空间公理） Ⅰ1 几何空间是3维的、连续的、无限的和各向同性的． （图形最高3维，有连续图形，不能圈定在球内，存在形状不变的刚性图形和刚性运动）． Ⅰ2 空间中有无限多个位置．任何一个区域都至少有一个位置． （位置：空间不能在分割的最小区域）． 1.3.2 公理 Ⅱ（置点公理） Ⅱ1任何一个位置均可以用假想的物体标为一个几何点（简称为点）．几何点具有下列特征: (1) 点的位置信息可以被感官直接认知，即是可以用确切实数描述（标注）的；
(3) 点不再具有位置信息之外物质的任何特性，也不能排它性地占据空间． 1.3.3 公理 Ⅲ（运动公理） Ⅲ1 空间不能运动（即空间位置不能运动），能在空间运动的是物质，能在几何空间运动的是点或由点运动形成的图形． (1) 运动中图形的形状不变，能经过途中的所有位置，并可以得到运动的轨迹． (2) 运动中基点的位置不变，且图形上任何一点到基点的距离也不变． (3) 图形可以移动，可以绕一个基点（实点或虚点）转动，也可以绕两个基点（实点或虚点）旋转．但如果点C是绕A、B两点旋转的一个动点，那么任何图形都不能以A、B、C三点为基点运动，而保持自身形状不变． Ⅲ2 在一个封闭腔Q 内有一个位置A，腔壁上有一个位置B，可以使P点从位置A运动至位置B，划出一条端点为A、B的单线，并可使该单线AB和封闭腔Q 没有B点之外的交点． 1.3.4 公理 Ⅳ（图形公理） Ⅳ1 （图形连续公理） 几何图形是连续的．连续的n维图形被（n-1）维图形分离出来的n维子图形也是连续的． Ⅳ2 （图形完整性公理）几何图形是完整的．任何一个图形都至少有一个点，最简单图形是完整的，由完整图形组成的图形也是完整的． Ⅳ3.（刚性图形公理）如果不特殊声明，我们讨论的图形都是刚性图形． 1.3.5 公理 Ⅴ（合同公理） Ⅴ1 图形M上有A、B两点，图形N上有C、D两点，调整圆规开启程度使圆规的针尖和笔尖分别和A、B两点重合，保持圆规开启程度不变，移动圆规使针尖和点C重合，转动圆规如果笔尖能和D点重合，则A、B两点间的距离和C、D两点间的距离相等． Ⅴ2 如果A、B两点间的距离和C、D两点间的距离相等，那么移动图形可以使点A、点B分别和点C、点D重合（合同），否则不能分别重合． Ⅴ3 如果图形F 能和图形和L 重合，图形L 能和图形和W 重合，那么图形F 一定能和图形和W 重合． Ⅴ4 可以重合的两个图形F 和L 任何对应的部分都能重合，就是除了占据的空间位置可能不同之外，其它任何属性都相等． 2. 基础定理 定理 1 以点A和点B为基点将动点P（点P表示从位置P运动的点）同向旋转一周的轨迹是唯一的到基点距离相等的一条闭线——圆k．且圆k和点P的旋转方向无关．
注：这里是将一个点以两点为基点旋转一周的轨迹定义成一个“圆”，这个定义和和欧几里得定义的“圆”（平面上到一定点距离等于定长的点的轨迹）等价．但是关于这两者等价的证明，需要严格定义了“直线”和“平面”之后才能给出． 定理 2 球A和球B不重合，且它们的公共点多于一个点K，那么， (1) K点是以A、B两点为基点旋转的动点（改变位置的点）． (2) 点K以A、B两点为基点同向旋转一周的轨迹圆k 是这两个球的交线，且除圆k 之外两个球再无公共点，即交圆k是唯一的． (3) 圆k 上的弧可以沿圆k 作沿线移动．
(2) 因为点K是球A 和球B 的交点，当点K以点A和点B为基点同向旋转一周得到闭合曲线是圆周k【定理（1）】，那么圆周k 上的任意一点F到A点的距离等于点K到点A的距离，且点F在球面A 上．同理点F在球面B 上．即点F位于两球公共部分．由于点F是在圆周k上任选的，那么圆k 上的任意一点都位于两球公共部分．即点K以A、B两点为基点同向旋转一周的轨迹圆k 是这两个球的公共部分．该公共部分称为两球的交线．假设空间中有一点E 不是球A 和球B 的交点，即不在圆k上，那么它要么不在球A 上，要么不在球B 上，即球A 和球B 的交线圆k 是唯一的． (3) 由于弧JF是圆k 的一截段，弧JF上的各点都在圆k 上，故当弧JF以A、B两点为基点旋转时弧JF各点都在圆k上运动，即圆k 上的弧可以在圆k 上沿线运动 ． □ 定理 3 如果点A1和点A2不重合，且以点A1为球心的1#球和以点A2为球心的2#球的公共点K是以A1、A2两点为基点进行旋转时的不动点．那么，这两个球仅有一个公共点K，即两球相切于K点．
证明 点K是1#球和2#球的切点（1#球和2#球仅有一个交点K），那么点K既在1#球上又在2#球上．假设点K是以点A1、A2为基点旋转的动点，那么在点K以点A1、A2为基点同向旋转一周时，K点的轨迹是一个圆【定理2】．现在1#球和2#球的交点仅是一个点，而不是一个圆，那么点K就不是以点A1、A2为基点旋转的动点，而是不动点．对于空间中的一个不能成为以点A1为球心的1#球和以点A2为球心的2#球切点的点P，假设点P为是以A1、A2两点为基点进行旋转时的不动点，那么P点就一定是某一对1#球和2#球的切点【定理3】，这显然是矛盾的，故不能成为1#球和2#球切点的点就是以A1、A2两点为基点进行旋转时的动点． □ 定理 5 以不重合两点A1、A2为基点对图形作旋转时的不动点构成的图形仅和基点A1、A2的位置有关，和选定的旋转图形无关． 证明 点A1、A2不重合．如果以点A1、A2为球心经过位置P的两球彼此相切于P点，那么位于位置P的点P为以点A1、A2为基点对某一个图形进行旋转时的不动点（实点或虚点，此位置无图形上的点称为“虚点”）【定理4】．如果以点A1、A2为球心经过位置P的两球彼此不相切，那么位于位置P的点P为以点A1、A2为基点对某一个图形进行旋转时的动点（实点或虚点）．显然以基点A1、A2为球心过位于位置P的球是否彼此相切，仅仅和基点A1、A2所在的位置以及位置P有关，和选择的旋转图形没有关系，也和旋转图形是否经过位置P，即点P是否是图形上的点（点P是否是实点）也没有关系．综上所述，以不重合两点A1、A2为基点对图形作旋转时，不动点构成的图形仅和所选的基点有关，和选定的旋转图形无关．□ 说明 根据此定理我们再讨论旋转不动点时，通常仅指明基点，而不再指出旋转图形． 定理 6 用不动点替换旋转过程的基点，不改变图形S 刚性旋转的轨迹． 证明：设K是图形S
上的一个动点，连单线A1K．以两个不重合的点A1、A2为基点对单线A1K作旋转，那么K点的旋转轨迹圆b 是以点A1为球心过K点的球 下面我们来证明在用一个不动点替换一个基点再旋转过程中不动点的轨迹也不改变所占据的空间位置（仍然为不动点）．假设在将旋转基点由点A1、A2转变成点A1、C后再旋转时，点D原为不动点后转换成了动点．由于转换过程是可逆的，那么当我们再将旋转基点由点A1、C转变成点A1、A2时，点D将由动点变成不动点．这显然和已经证明了的结论（1）相矛盾， 因此用不动点替换一个旋转基点之后再旋转，任何一个不动点都还是不动点．
定理 7 球形腔内部有一点A，外部有一点B，那么，以点A和点B为端点的单线至少和腔壁有一个交点．（证明略） 定理 8 球面F 上有l 、k 两个圆周，如果在k 分成的两个球冠的表面区域内（不包括圆k）都有圆l 的点，那么圆l 和圆k 在球面F 上有两个交点（图6）．（证明略） 定理 9 以点A、B为基点旋转的不动点构成的图形Q (1) 不是仅由A、B两点构成的图形． (2) 如果点P为图形Q 上的点，那么以点P为球心的球W 上被以点A、B为基点的球W 上任意一个动点旋转的轨迹圆分成的左、右两个球冠上，一定各有一个图形Q 的点，且这两个不动点是球W 的一对对极点． (3) 以图形Q 上任意一点为球心所作球的左、右两个球冠上仅各有一个图形Q 的点． (4) 图形Q 是一条无端的单线．
(2) 以图形Q 上异于A、B两点的一点P为球心作不经过点A和点B的球W，球W 被一个以点A、B为基点的球W 上的一个动点旋转的轨迹圆l 分成了左球冠和右球冠（图7）．由于点B不是球W 的球心，又不在球W 上，那么以点B为球心可以作两个球R1和R2和球W 相切于K1点和S1点．且一个点K1在左球冠上，一个点S1在右球冠上．由于球W 上左、右球冠上的切点是唯一的，因此左、右球冠上各有一个图形Q 上的点．又因为点K1和点S1是以点A和点B为基点旋转的不动点，那么它们是球W 的一对对极点（球上同一组基点旋转的不动点为对极点）． (3) 由于点P是在图形Q上任选的一点，因此以图形Q 上任意一点为球心所作球的左、右两个球冠上仅各有一个图形Q 的点． (4) ⅰ. 图形Q 没有歧点（分岔的点），且离开球W 之后就不会再返回球W 自相交． ⅱ. 图形Q 上没有断点，假设图形Q 上在以点P为球心的球W0 左侧处有断点，那么只有两种可能，①球W0 左侧没有属于图形Q 的点，②球W0 左侧属于图形Q 的点H和图形Q 的点的距离都大于某一个常数h ．根据本题结论(3)情况①不会出现．以点H为球心，以h 为半径作球H，那么，以点P为球心与球W0半径差的绝对值小于h 的球的左、右不动点都在球H 内部，那么结论②也不会出现，即假设图形Q 有断点不真，即图形Q 没有断点． ⅲ. 又因为图形Q 的两端一定会伸出球W 外，且球W 可以无限制地增大． 因此图形Q 是一条无端的单线． □ 3. 需要定义的概念 定义 1 以A、B两点为基点旋转的不动点构成的无端单线称为过A、B两点的直线．直线上C、D两点间的部分（包括C、D两点）称为直线段CD，C、D两点称为直线段的端点．当不至于混淆时可将直线段CD简称为线段CD．直线段CD的长度定义为C、D两点间的距离． 定义 2 直线始终有两个点在圆周k 上作非沿线运动轨迹的整体称为平面，圆周k 称为该平面的基础圆．圆所在平面上到圆周各点距离相等的点称为圆的中心，简称为圆心． 定义了直线之后，我们可以使用直尺过空间的两点引一条直线或作一条以两个已知点为端点的直线段．定义了平面之后，我们可以使用平面膜上划圆或绘制平面图形了． 4. 相关定理 定理 10 过A、B两点的直线（以点A、B为基点的直线）是由点A和点B以及以点A、B为球心两球的切点构成的线．即用直尺通过A、B两点所划的单线就是过A、B两点的直线． 证明 过A、B两点的直线就是以点A、B为基点旋转的不动点构成的线，即就是以点A为球心的球和以点B为球心的球相切的切点构成的线【定理9】，由于直尺的边棱是以边棱上的某两点为基点的不动点构成的图形，又由于直尺是刚性的，那么用直尺过A、B两点划出的单线就是以A、B两点为基点的不动点构成的线，故它是过A、B两点直线的一部分，我们称为过A、B两点直线． □ 定理 11 空间中不重合的两点，可以确定一条直线，且仅可以确定一条直线． 证明 以空间不重合的点A和点B为基点旋转，可以得到一条直线k【定理9】，且该直线k 是以点A为球心的球F 和以点B为球心的球R 的切点构成的【定理10，定理3】．假设由点A和点B确定的直线不止一条，尚有另一条直线l ．由于线l 上的点P是以点A为球心的球F 和以点B为球心的球R 的切点，那么P点在线k 上．如果点Q不在线l 上，它就不是球F 和球R 的切点，即点Q也不在线k 上．因此，线l 和线k 重合．即空间中不重合的两点，仅可以确定一条直线． □ 定理 12 两条直线有两点重合则整条线重合． 证明 假设移动直线k 使直线k 上的两点A1、B1和直线l 上的两点A、B分别重合后，直线k 和直线l 不重合．那么过空间重合的两点A(A1)、B(B1)就有l 和k 两条直线，这显然是不可能的【定理11】 □ 定理 13 两端点分别重合的两条直线段相互重合． 证明 假设两端点分别重合于A（A1）、B（B1）后两条直线段不重合，那么过两点A（A1）、B（B1）就有两条直线段，即有两条直线，这显然是不可能的【定理11】． □ 定理 14 直线段可以沿线运动，可以通过沿线运动的方式向两端延长，延长得到的线还是直线段． 证明 直线段AB在直线k 上由位置AB开始向左运动，点A运动至位置A1处，此时点B在原 定理 15 (1) 直线k 沿直线移动不改变所占据的空间位置． (2) 直线k 绕k 上任意一点A翻转，使线k 上另一点B翻转后与原线上的一点C重合，并不改变所占据的空间位置． (3) 以直线k 上的任意两点A、B为基点旋转直线k 不改变所占据的空间位置． 即直线是沿线移动，翻转和旋转不改变所占位置（不改变形状）的图形． 证明 (1) 由定理14直接可得此结论． (2) 翻转后的直线k 和翻转前的直线k 有点A和点C(B)两点重合，那么直线k 和直线k重合【定理12】． (2) 直线k 是以直线上任何两点为基点的旋转不动点构成的线，那么，以直线k 上的任意两点A、B为基点旋转也不改变所占据的空间位置【定理9，定理6】． □ 定理 16 所有的平角都可以重合（都相等）．
定理 17 所有的直角（和为平角的等角）都可以重合（都相等）． 证明 直线AC上有一点B，以点B为顶点的射线BD垂直于（相交成直角）直线AC．直线A1C1上有一点B1，以点B1为顶点的射线B1D1垂直于直线A1C1．在射线B1A1上截直线段B1A1=BA，在射线B1C1上截直线段B1C1=BC，移动由直线AC和射线BD构成的图形，使点A和点A1重合，点B和点B1重合【合同公理2】．那么直线AC和直线A1C1重合，点C和点C1重合（图10）．让直线AC绕点A、C自旋，那么点B(B1)位置不变【定理15】．假设无论如何射线BD都不和射线B1D1重合，不失一般性，设射线BD在∠A1B1D1的内部划过， 有∠ABD＜∠A1B1D1，∠CBD＞∠C1B1D1．由于射线B1D1垂直于直线A1C1，∠A1B1D1 =∠C1B1D1，就有∠ABD＜∠CBD．
定理 18（阿基米德定理） 若AB和CD是任意两条直线段，则必有一个确切自然数n，使得自A点开始在直线段AB上作首尾相接的n个直线段CD，其外端点必将超越B点（最终落点在直线段AB之外）． 证明 由于在几何学中我们讨论的位置都是可以用物体标为一个几何点，点的位置信息是可以被感官直接认知并能够用确切实数来描述（标注）的【置点公理】，直线段AB和直线段CD的端点都是点【图形完整性公理】，那么把它们的一个端点和数轴直线的原点O重合，另一点放置在数轴的正方向一侧，那么这另一个端点一定和数轴直线上一个正确切实数相重合．那么线段AB和线段CD的长度就都是一个确切实数．假设自A点开始在直线段AB上无论作多少个首尾相接的直线段CD，其落点都在直线段AB上，即当所作的直线段CD的数量n→∞时亦是如此．那么只有两种可能，一是直线段AB的长度比任何给定的确切实数都大（也就是“无穷大”），另一种可能就是直线段CD的长度比任何给定的确切实数都小（也就是“无穷小”），当然还可以，即有直线段AB的长度为无穷大又有直线段CD的长度为无穷小．由于我们已经证明了，直线段AB和直线段CD的长度都为确切实数，因此当做出的直线段CD的数量足够多时，必将超出B点（最后的落点一定会超出直线段AB）．即原假设自A点开始在直线段AB上无论作多少个首尾相接的直线段CD，其落点都在直线段AB上不真，因此若AB和CD是任意两条直线段，则必有一个确切自然数n，使得自A点开始在直线段AB上作首尾相接的n个直线段CD，其外端点必将超越B点． □ 说明 该定理表明，阿基米德公理和本书提出的置点公理及图形完整性公理等价．因此在我们提出了这两个公理的条件下，阿基米德公理不应当再列为公理，它变成了一个可以证明的定理． 定理 19 (1) 相交两球的连心线是两球交线圆的对称轴（圆对称轴上任意一点到圆上各点的距离都相等）． (2) 到相交两球交线圆各点距离相等的点在两球的连心线上． (3) 以直线上任意两点为球心，过直线外同一点所作球的交线圆是唯一的，与所选择的球无关． 证明 设以点A为球心的球A 和以点B为球心的球B 相交于圆l ．
(2) 设空间有一点C到圆l 各点的距离都相等．圆l 以点A和点B为基点旋转时位置不变，那么在整个旋转过程中圆l 上的各点到C点的距离保持不变，那么点C就是以点A和点B为基点旋转时的不动点．即点C在球A 和球B的连心线上，也就是点C在相交球球A、B的对称轴（直线AB）上． (3) 设空间有一点C到圆l 各点的距离都相等，以C点为球心过点P作球C，那么圆l 在球C 上，因为圆l 既在球A 上又在球B 上，即圆l 是球A，球B 和球C 的共同交线．由于点C是在对称轴AB上任选的，因此不论以直线AB上的任何一个点为球心过P点所作球和球A 或球B 的交线都是圆l ，即以直线上任意两点为球心，过直线外同一点所作球的交线圆是唯一的，与所选择的球无关． □ 定理 20 (1) 过不在一条直线上的三点可以作一个圆． (2) 以同一直线上的点为球心，过直线外同一点所作的球的交线都是同一个圆． (3) 过不在一条直线上的三点，仅可以作唯一的一个圆，并可以确定这个圆的对称轴直线． (4) 过不在一条直线上的三点可以作一个平面，仅可以作一个平面．
由作图知，圆k 上的各点到点A和点C的距离相等且都等于R，圆l 上的各点到点A和点B的距离相等且都等于R．圆k 将球A 分成两个球冠（一个劣球冠和一个优球冠），由于优球冠和劣球冠上都有圆l 上的点，那么圆l 的实线弧和圆k 的实线弧有一个交点D，圆l 的虚线弧和圆k 的虚线弧有一个交点E【定理8】．由于交点D、交点E到点B和点C的距离相等且等于R ，那么点D和点E在球B上也在球C上，即点D和点E在圆m 上．也就是A、B、C 三个球两两的交线圆k、l、m 都经过D、E两点．由于点D和点E到A、B、C三点的距离相等且都等于R ．以点D为球心过点A（或以R 为半径）作球D，以点E为球心过点A（或以R为半径）作球E（球D、球E 图中未标出），球D和球E的交线就是过A、B、C三点的圆s．显然圆s 是点D、E的等球交线（相等球的交线圆）．即过不在同一直线上的三个点可以作一个圆． (2) 由于点D和点E到圆s 各点的距离都相等，那么点D和点E都在圆s 的对称轴上，由于直线DE是以点D和点E为基点旋转的不动点线，那么以直线DE上的任何一点Q为球心过点A的球和球D（及球E）相交于圆s【定理19】．选取不在直线DE的一点G，那么G点到A、B、C三点的距离不相等，那么点G不能是过A、B、C三点的球的球心．那么到A、B、C三点距离相等的点都在圆s 的对称轴直线DE上，即所有过A、B、C三点的圆都是圆s． (3) 这样确定的那个唯一的圆，就是过不在同一直线上的A、B、C三点的那个圆，因此，过不在一条直线上的三点，仅可以作唯一的一个圆．直线DE就是过A、B、C三点的圆s 的对称轴． (4) 由于过不在同一直线上的三个点可以作一个圆，以任何一个圆作基础圆都可以作出一个平面【定义2】，那么过任何不在同一条直线上的三点可以作一个平面，仅可以作一个平面． □ 推论1 过一条直线和直线外的一点可以确定一个平面，且仅可以确定一个平面． 推论2 过两条相交的直线可以确定一个平面，且仅可以确定一个平面． 定理 21 (1) 球和直线最多有两个交点 (2)圆上的任意三点不能在同一条直线上． 证明 (1) 设球心为A的球A，过点A的直线k 和球A 有两个交点【定理9】．直线l 和球A相交都可以由直线k 运动至直线l 处得到，在运动过程直线k 和球A 的交点不能增加，仅可以两交点合并加少一个或和球分离变得没有交点．因此直线和球最多有两个交点．(2) 假设圆上的三点在同一直线上，由于圆周整体可以在一个球上，那么就有该球和直线有三个交点，这显然是不可能的，因此有，圆上的任意三点不能在同一条直线上． □ 定理 22 如果圆k 上的三点在平面M 上，那么圆周k 的所有点都在平面M 上． 证明 假设圆周k 上有三点A、B、C，由于A、B、C三点不在同一直线上【定理21】，按照定理20我们可以找到到点A、B、C距离相等的两点D、E．以点D为球心过点A作球F1，以点E为球心过点A作球F2，球F1和球F2的交圆l 就是经过不在同一直线上的三点A、B、C的唯一的一个圆，以该圆为基础圆可以作唯一的一个平面，使圆l 所有点都在该平面上．又由于过不在同一直线上的三点A、B、C仅可以作出唯一的一个平面【定理20】，因此整个圆k 都在平面M 上． □ 定理 23 如果直线k 的两个点A、B在平面M 上，那么直线k 的所有点都在平面M 上． 证明 在平面M 上取不在直线k 上的一点C，按照定理 2.6.7我们可以找出到点A、B、C距离相等的两点D、E，以点D为球心过点A作球F1，以点E为球心过点A作球F2，球F1和球F2的交圆经过A、B、C三点．由于不在同一直线上的三点仅可以确定唯一的一个平面【定理20】，因此整个圆ABC都在平面M 上，那么圆ABC是平面M 的一个基础圆，直线k 有A、B两点在基础圆ABC上，那么整条直线k 就都在平面M 上． □ 推论 由平面的定义和本定理可知，直线、射线和直线段都是平面图形． 定理 24 球心分别为点A和点B的两个球（两球不一定相等）相交于一个圆k ，那么． (1) 从交线圆k 上任意一点向两球连心线作垂线的垂足是交线圆的圆心，当两球相等时，两球球心所连直线段的中点是交线圆的圆心． (2) 任何一个圆都有唯一的一个圆心． (3) 圆的半径向圆心方向延长一定和圆相交，且截得的弦为直径．直径的端点是圆的一组对径点． (4) 两球连心线AB垂直平分圆k 任何一条直径． (5) 两球连心线垂直于两球的交圆所确定的平面，且垂足就是该交线圆的圆心．两相交等球的球心是交线圆的一对镜点，交圆所在的平面是球心连线的中垂面． (6) 圆的直径（D）等于两条半径（R）的和． 证明 任取两点A、B，连直线段AB．以点A为球心作球F1，以点B为球心作球F2，两球相交于圆k （图13）．在圆k 上任取一点C，以点C为球心过点B作球交直线段AB（或其延长线）于A1 直线段A1B的中点为O．将整个图形翻转，使点A1和原图点B重合，点B和原图点A1重合．因球F2和球F3相等，此时球F3重合于原图形球F2，球F2重合于原图形球F3，圆k 重合于圆k．因为A1O=OB，那么翻转后的O点重合于原图形的O点．绕连心线A1B旋转翻转后的图形，能使点C重合于原图的点C．那么，就有 ∠COA=∠COA1=∠COB=直角 （即CO垂直于AB，O为垂足）． 使直线段CO向O的方向延长成射线CD，那么有∠A1OD等于直角．使直线段OC绕直线AB旋转，则∠AOC始终是直角，因此，当线段OC旋转至和射线OD方向一致时线段OC将和射线OD的一部分重合．由于动点C绕连心线AB（以点A和点B为基点）旋转时，点C始终在圆k 上移动【定理2】．那么，射线OD上的一点D和点C重合．即点D在圆k 上，就有点C、O、D在同一直线上． 由于点C和点D在圆k 上，且点C、O、D在同一直线上，那么，点O在圆k 所在的平面上．① 因为点O在直线AB上，且AO=OB，即点O是以点A和点B为基点旋转的不动点，那么点O到圆k 各点的距离相等，即点O为圆k 的圆心．② 因为点O是圆k 的圆心，到圆上各点的距离相等，又在直径CD上，那么将左半圆CD绕轴线CD翻转后将和右半圆CD重合．那么， (1) 交线圆k 上任意一点向连心线AB所引垂线的垂足O是圆k 的圆心，显然当两球相等时两球球心所连直线段的中点是交线圆的圆心． (2) 由于圆心O是两球F2、F3所连直线段A1B的中点，因此圆k 的中心O是唯一的． (3) 圆的半径CO向圆心方向延长和圆k 相交于D点，且截得的弦CD为圆k 的直径（经过圆心的弦），即点A和点B是圆k 的一组对径点． (4) 由于点O是两球交线圆k 的圆心，且圆k 的任何一条半径都和连心线AB垂直，那么，连心线AB相垂直平分圆k 的任何一条直径． (5) 由于两球连心线AB垂直于圆k 的任何一条直径，那么两球连心线垂直于两球的交圆所确定的平面，且垂足O就是圆k 的圆心．那么，两相交等球的球心就是交线圆的一对镜点，交圆所在的平面是球心连线的中垂面． (6) CO可以和OD重合，那么圆的直径（D）等于两条半径（R），即D=2R． □ 定理 25 (1) 两点的等球交线所在的平面是这两球心连线的中垂面． (2) 中垂面上的点到两点的距离相等． (3) 到两点距离相等的点在其中垂面上． (4) 两点的中垂面是唯一的． 证明 (1) 任取两点A、B，连直线AB．以点A为球心作球A，以点B为球心作球B，使球A
等于球B
且两球相交于圆l ．设直线段AB的中点为O（图14），那么点O在圆l
所在的平面上，并且是圆l 的圆心．在圆l 上任取一点D，连直线DO，那么直线DO交圆l
于另一点H【定理24】，那么点H在圆l
上，也在圆l
所在的平面上【定理23】．由于点A和点B到圆l 各点的距离都相等， (2) 在平面L 上任取一点C．由三角形DOA和三角形DOB可以翻转重合【定理24】，得三角形COA和三角形COB可以翻转重合，故直线段CA和CB相等．由于点C是在平面L 上任取的，那么就有A、B两点中垂面上的点到A、B两点的距离相等． (3) 设空间有一点E，直线段EA等于直线段EB，以点A为球心过点E作球A1，以点B为球心过点E作球B1（图中未标出），那么球A1等于球B1，设球A1和球B1相交于圆k．将图形翻转使翻转后点A重合于原图形的点B，使翻转后点B重合于原图形的点A，此时，点O重合于点O，球A1重合于球B1，球B1重合于球A1，圆k 重合于圆k．那么，就可得∠EOA=∠EOB=直角，那么点E 在平面L 上． (4) 假设点A和点B的中垂面，并不只是平面L ，那么就有平面L 外的点，也到点A和点B的距离相等，但这显然和已经证明了的结论(3)，到两点距离相等的点都在其中垂面L 上的结论相矛盾．该矛盾说明原假设两点的中垂面不是唯一的不真，因此两点的中垂面是唯一的． □ 定理 26 (1) 平面和球的公共点多于一个，它们的公共部分是一个圆． (2)如果两个有公共点的平面不重合，它们的公共部分是一条直线． 证明 (1) 假设以点G为球心的球G 和平面Q 的公共点有J、K两点，过点G作平面Q 的垂线，点S为垂足，并在GS的延长线上截得SH=GS（如果点G在平面Q 上，则在平面Q 两侧的垂线上截取相等的两段）．那么平面Q 为点G和点H的中垂面，以点H为球心过点J作球H 那么点K在球H 上．因点J和点K在球G 上也在球H 上，因此点J和点K在球G 和球H 的交线上，即球G 和球H 相交于一个圆s ．且圆s 为点J和点K的等球交线（中垂面上）【定理24，定理25】，那么圆s 在平面Q上，即当球和平面的公共点多于一点时，它们相交于一个圆． (2) 假设平面F 和平面M 不重合，且有一个公共点A．以点A为球心，以任意长为半径作球Q ，那么球Q 交平面F 于圆l 和交平面M 于圆k【本定理(1)】．由于球面Q 上的圆l 两侧的球冠上都有属于圆k 的点，那么圆l 和圆k 有两个交点【定理8】，设其中的一个交点为B．那么这两个平面的公共部分就至少有A、B两个公共点．由于点A和点B是平面F 和平面M 的公共点，那么点A和点B在平面F 上，即整条直线AB在平面F 上；同样点A和点B在平面M上，又有整条直线AB在平面M 上【定理23】．即有交点，但不重合的平面F 和平面M 相交于一条直线． □ 定理 27 如果直线AB垂直于平面M 点O为垂足，那么， (1) 平面M 上任何一点绕直线AB（以点A和点B为基点）同向旋转一周的轨迹圆k 是平面M 圆心为O的基础圆． (2) 以点O为圆心的平面M 的基础圆有无限多个，并且这些圆中没有最大的． (3) 平面M 上任何一点向直线AB所作垂线的垂足都是直线AB与平面M 的交点O． (4) 由直线AB外的一点P，可以引一条直线和直线AB垂直相交，并且仅可以引一条． (5) 从平面外一点可以引一条直线和平面垂直，并且仅可以引一条．
(2) 在直线CO的C点之外任取一点P，那么以点A和点B为基点旋转三角形APO时，点P的轨迹圆l 也是一个平面M 的基础圆，显然圆l ＞圆k．因为直线CO可以伸向无穷远处，我们要取多远的点就可以取到多远的点，因此平面M 以点O为圆心的基础圆没有最大的． (3) 在平面M 上任取一点D，连DO，那么DO垂直于AB，即平面M 上任何一点向平面的垂线AB所作垂线的垂足都是直线AB与平面M 的交点O． (4) 设直线AB外有一点P，让点P绕直线AB（或以点A和点B为基点）同向旋转一周，点P的轨迹是唯一的一个圆周l ，以点A为球心过点P的球A 和以点B为球心过点P的球B 的交线也是圆l 【定理19】．那么连心线AB垂直于圆l 所在的平面M，并且圆l 的圆心O为垂足【定理24】，连直线PO垂直于直线AB【本定理 结论(3)】．由于直线AB和平面M 的交点仅有一点O，P、O两点确定的直线仅有唯一的一条【定理 25(27)】，即由直线AB外的一点P，可以引一条直线和直线AB垂直相交，并且仅可以引一条． (5) 在平面M 外一点P，那么我们一定能找到点P对于平面M 的镜点Q，直线PQ就是过点P垂直于平面M 的直线．假设由点P可以引垂足分别为点J和点H的两条垂线．连直线JH，那么整条直线JH 都在平面M 上，且有直线PJ和直线JH 垂直相交，直线PH和直线JH 垂直相交，即从直线外一点P,引了两条直线和直线JH垂直相交，这是不可能的【本定理结论(4)】．因此，过平面外一点仅可以引一条直线和平面垂直． □
证明 设圆l 和圆k 分别是直线AB外的一点绕直线AB同向旋转一周得到的图形．圆l 在平面L 上，那么圆心C在平面L 上．圆k 在平面M 上，那么圆心D在平面M 上（图16）．假设平面L 和平面M 不是平行平面，它们一定在有限的区域有交点，设这个交点为点E，即点E既在平面L 上也在平面M 上．我们来证明这个假设是错的． 因点E在平面L 上，那么由E点向直线AB作垂线的垂足为平面L 上的基础圆圆心点C【定理27】，又由于E点在平面M 上，那么由E点向直线AB作垂线的垂足为平面M 上的基础圆圆心点D【定理27】．就是从直线AB外的一点E，可以引EC、ED两条直线和直线AB垂直相交，这显然和由直线外一点仅可以引一条直线和该直线垂直相交【定理27】相矛盾．该矛盾表明平面L 和平面M 不是平行平面的假设不真，即平面L 和平面M 是永远不相交的平行平面． □ 定理 29 如果一条直线垂直于平面上两条过交点的直线，那么该直线就垂直于这个平面M．
在直线AB上任选一点A，以点O和点P为基点将点A同向旋转一周，得到圆k（图17）．根据已知有， ∠POA=∠POB=直角，∠POC=∠POD=直角 那么，在直线AB上一定还有一点B在圆k 上，在直线CD上一定还有点C和点D在圆k 上．由于点A、B、C、D都在平面M 上，那么，圆k 在平面M 上【定理22】．那么，圆k 上任何一点和点O的连线都垂直于直线PO，即平面M 上任何一条经过O点的直线就都垂直于直线PO【定理27】，则直线PO垂直于平面M ． □
证明：设两平面的交线上有一点C，在垂线AB上取一点A，让点A以点B和点C为基点同向旋转一周，其轨迹圆k 和平面M 相交于点D（图18）．那么直线CB垂直于圆k 所在的平面【定理24】，故CB垂直于BD也垂直于BA，那么∠ABD是平面L 和平面M 构成二面角的平面角．由于直线AB是平面M 的垂线，那么∠ABD为直角，故平面L 垂直于平面M ． □ 定理 31 平面L 垂直于平面M ，由平面L 上的任意一点作平面M 的垂线，垂足一点在两平面的交线上．
以点C为球心过点A作一个球，以点D为球心过点A再作一个球，两球相交于圆k （两球图中未标出），圆k 交平面M 于点E ．那么直线CD垂直于圆k 所在的平面，且点B是圆k 的圆心【定理24】．那么就有直线CD垂直于直线AB，也垂直于直线BE，即∠ABE是平面L 和平面M 构成二面角的平面角，由于平面L 和平面M 互相垂直，那么∠ABE等于直角．现在就有了直线AB垂直于CD，也垂直于直线BE，那么直线AB垂直于平面M 【定理29】，且垂足B在平面L 和平面M 交线CD上． □ 定理 32 垂直于同一个平面的两条直线相平行． 证明：设直线AB垂直于平面M ，直线CD也垂直于平面M ，过直线AB作平面L ，过直线CD作平面K ，平面L 和平面K 相交于直线EF（图20）． 由于直线AB垂直于平面M ，那么平面L
垂直于平面M
【定理30】．在直线EF上任取 定理 33 （平行定理）平面上过直线外一点可以作一条直线和已知直线平行，并且只可以作一条． 要求 空间有直线AB和直线外一点C，证明在A、B、C三点所在的平面上，过点C存在一条，并且仅存在一条直线永远不和直线AB相交． 作法 (1) 使点C绕直线AB（即以点A和点B为基点）同向旋转一周，得到过C点的轨迹圆k，以圆k 为基础圆的平面L．直线AB垂直交平面L 于点J．
(3)以点D为球心，以大于这三点任意两点的距离为半径作球D，以点E为球心作球E 等于球D，以点F为球心作球F 等于球D．球D、球E 和球F 相交于G、H两点（图中球D、球E和球F 均未标出）． (4) 连直线GH就是在A、B、C三点所在的平面M 上，过点C的一条和直线AB永不相交的直线． 引理 平面上的一条直线和两条平行线中的一条相交于一点，就一定和平行线中的另一条也相交于一点． 引理证明 在平面M 上作直线PQ和直线HG相交于C点，在平面M 上作圆s 交直线PQ于点P，交直线CJ于点K．就有直线CJ垂直相交于直线AB于一点J．设逆时针方向∠KCP小于直角，让直线CJ一点C为基点在平面M 上逆时针转动，此时，点K在圆s上移动，点J在直线AB上移动并始终保持有一个交点．当点K和点P重合时，点J运动至点Q，即直线PQ和直线AB有一个交点Q．只有当PQ和HG重合时它才与直线AB没有交点（平行）． □ 证明 由作法(1)可知直线AB垂直于圆k 所在的平面L【定理 24】．由作法(2)、(3)可知点H和点G是圆DEF的镜点，那么直线GH垂直于平面L【定理 24】．因此就有直线AB平行于直线GH【定理 32】．由引理知，平面M 上仅有过C点的平面L 的垂线平行于直线AB．由于过点C垂直于平面L 的直线仅有唯一的一条【定理 27】，即在直线AB和线外一点C所确定的平面上，过点C仅可以作一条直线和直线AB平行．□ 到现在，我们在重新确定“公理”，精确定义“直线”和“平面”的基础上．证明了平性定理，成功地将欧几里得(Euclid)的第五公设，转变成了一个定理．我们选择的公理是被以往经验证实了是正确的，并且至今尚未被证伪的归纳真理．我们给出的直线和平面的定义是内涵界限清晰的．也就是说在承认空间是均匀的，工具（圆规，直尺）是绝对刚体，图形是刚性的前提下，欧几里得的第五公设是唯一正确的结论．而罗巴切夫斯基(Lobatchevsky)几何和黎曼(Riemann)几何的平行公理就都是错误的． 我们重新建立并完善了几何学的基础，证明了仅有一种几何学，也就是欧几里得(Euclid)几何学才是描绘均匀空间性质的正确理论．而非欧几何仅仅是和空间性质无关的逻辑自洽系统，当然它们仍然可以作为一种工具，被物理学界所使用．本文是对几何学新基础的简明论述，更详尽的论述，请参阅《几何学新基础》一书． 5.参考文献 [1] 欧几里得著《几何原本》陕西科学技术出版社 2003 第Ⅰ卷 第1～3 页． [2] 朱梧檟著《数学与无穷观的逻辑基础》 大连理工大学出版社 2008．§1.3 第 11页． 作者基本情况： 第一作者潘永城：男 民族：汉，现年72周岁．退休前是黑龙江省化肥公司总工程师（高级工程师）．通讯地址：黑龙江省哈尔滨市松北区保利公园九号小区，35号楼一单元1702室，邮编：150028．邮箱：panyongcheng@163.com 第二作者潘昊楠：男 民族：汉，现年20周岁．吉林大学物理学院光电信息科学与工程专业2015级学生．
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