高中数学 | 应用基本不等式解决一些简单的实际问题

一、模拟试题

1、已知x＞y＞0，xy＝1，求证：≥2。

2、解下列各题

（1）求函数y＝2x²＋（x＞0）的最小值。

（2）求函数y＝x²＋（x＞0）的最小值。

（3）求函数y＝3x²－2x³（0＜x＜＝的最大值。

（4）求函数y＝x（1－x²）（0＜x＜1＝的最大值。

3、若a，b，c∈R^＋，且a＋b＋c＝1，

求证：

4、如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米，问a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔面积忽略不计）。

 

二、试题答案

1、证明：∵x＞y＞0，xy＝1  ∴

≥2＝2 ，即≥2

2、解析：（1）∵x＞0  ∴2x²＞0，＞0,∴y＝2x²＋＝2x²＋＋≥3·

当且仅当2x²＝，即x＝时等号成立。

故当x＝时，y有最小值3·。

（2），

当且仅当即x＝±时，等号成立。

故当x＝±时，y有最小值3。

（3）∵0＜x＜  ∴3－2x＞0

∴y＝x²（3－2x）＝x·x·（3－2x）≤（）³＝1

当且仅当x＝3－2x即x＝1时，等号成立。

（4）∵0＜x＜1  ∴1－x²＞0

∵y²＝x²（1－x²）²＝·2x²（1－x²）（1－x²）≤（）³＝

当且仅当2x²＝1－x²即x＝时，等号成立，

∴当x＝时，y²有最大值。

由题意可知：y＞0,故当x＝时，y有最大值。

3、证明：∵a，b，c∈R^＋，且a＋b＋c＝1

∴2＝（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）

∴［（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）］·（）

≥3·×3·＝９

故。

4、分析：应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型（即函数关系式），由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值。

解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝，其中k＞0且k是比例系数。依题意要使y最小，只需求ab的最大值。

由题设得：4b＋2ab＋2a＝60  （a＞0，b＞0）

即a＋2b＋ab＝30  （a＞0，b＞0）

∵a＋2b≥2  ∴2＋ab≤30

当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab有最大值。

∴当a＝2b时有2＋ab＝30，即b²＋2b－15＝0

解之得：b₁＝3，b₂＝－５（舍去）∴a＝2b＝６

故当a＝６米，b＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少。

解法二：设y为流出的水中杂质的质量分数，由题意可知：4b＋2ab＋2a＝60（a＞0，b＞0）

∴a＋2b＋ab＝30  （a＞0，b＞0）,∴b＝   （0＜a＜30）

由题设：y＝，其中k＞0且k是比例系数，依题只需ab取最大值。

∴y＝＝

≥

∴当且仅当a＋2＝时取“＝”号，即a＝６，b＝3时ab有最大值18。

故当a＝６米，b＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少。

热门话题：

炒菜什么时候放盐？

小明滚出去

十二星座女喜欢你的暗号

2017第五届新少年作文大赛一等奖作文：《当母亲喝了孟婆汤》

常用英语口语缩略词

2017年高考英语作文范文

高中生物怎么学？这些方法要记住！

人工智能5件大事：能给工业4.0带来什么？