§2.7 指数与指数函数
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
1．根式 (1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a. 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂： 正数的负分数指数幂： 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，. 2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)＝－4.( × ) (2)2a·2b＝2ab.( × ) (3)函数y＝x－1的值域是(0，＋∞)．( × ) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.( × )
1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于( ) A．不确定 B．0 C．1 D．2 答案 C 解析 由函数y＝a·2x是指数函数，得a＝1， 由y＝2x＋b是指数函数，得b＝0，所以a＋b＝1. 2．计算： 答案 1 解析 原式＝ 3．若指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为2，则a＝________. 答案 2或 解析 若a>1，则f (x)max＝f(1)＝a＝2；若0<a<1，则f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得a＝.
题型一 指数幂的运算 例1 计算： (1)(－1.8)0＋－2·－＋； (2) 解 (1)(－1.8)0＋－2·－＋ ＝1＋ ＝1＋2·2－10＋33 ＝1＋1－10＋27＝19. (2) ＝ ＝2××8＝. 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 跟踪训练1 计算： (1) (2) 解 (1)因为有意义，所以a>0， 所以原式＝ (2)原式＝ 题型二 指数函数的图象及应用 例2 (1)(多选)已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是( ) A．a<b B．若a<0，则b<a<0 C．|a|<|b| D．若0<a<log32，则ab<ba 答案 BCD 解析 如图，
由指数函数的图象可知，0<a<b或者b<a<0，所以A错误，B，C正确； D选项中，0<a<log32⇒0<a<b<1，则有ab<aa<ba，所以D正确． (2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________． 答案 (0,2) 解析 在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点． ∴b的取值范围是(0,2)． 思维升华 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 跟踪训练2 (多选)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1 B．0<a<1 C．b>0 D．b<0 答案 BD 解析 由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，
∴0<a<1，故B正确； 分析可知， 函数f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax的图象向左平移所得，如图， ∴－b>0，∴b<0，故D正确． 题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 比较指数式大小 例3 设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则( ) A．b<c<a B．c<a<b C．a<b<c D．b<a<c 答案 D 解析 b＝2－0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1， 所以b<a<c. 命题点2 解简单的指数方程或不等式 例4 (2023·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是( ) A．[2,4] B．(－∞，0) C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2] 答案 D 解析 ∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]， ∴1≤4x－3·2x＋3≤7. ∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4. ∴x≤0或1≤x≤2. 命题点3 指数函数性质的综合应用 例5已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数． (1)求a的值； (2)若∀x∈[1,2], 都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围． 解 (1)f(x)＝×2x＋， 因为f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以×＋2x＝－， 所以＝0， 即＋1＝0，解得a＝－1. (2)因为f(x)＝－2x，x∈[1,2]， 所以－22x≥m， 所以m≥＋2x，x∈[1,2]， 令t＝2x，t∈[2,4]， 由于y＝t＋在[2,4]上单调递增， 所以m≥4＋＝. 思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 跟踪训练3 (1)(多选)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝，下列说法正确的有( ) A．f(x)的图象关于原点对称 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的值域为(－1,1) D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<0 答案 AC 解析 对于A中，由f(－x)＝＝－＝－f(x)，可得函数f(x)为奇函数，函数f(x)的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误； 对于C中，设y＝，可得3x＝，所以>0，即<0，解得－1<y<1，即函数f(x)的值域为(－1,1)，所以C正确； 对于D中，对∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<0，可得函数f(x)为减函数， 而f(x)＝＝1－为增函数，所以D错误． (2)已知函数f(x)＝ 答案 1 解析 令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)， ∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1， 则解得a＝1. 课时精练
1．若m＝，n＝，则m＋n的值为( ) A．－7 B．－1 C．1 D．7 答案 C 解析 m＋n＝π－3＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1. 2．已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为( ) A. B．1 C. D．2 答案 D 解析 由题意得2a2－5a＋3＝1，∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝. 当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当a＝时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意． ∴a＝2. 3．函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
答案 D 解析 当a>1时，0<<1，函数y＝ax的图象为过点(0,1)的上升的曲线，函数y＝ax－的图象由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度可得，故A，B错误； 当0<a<1时，>1，函数y＝ax的图象为过点(0,1)的下降的曲线，函数y＝ax－的图象由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度可得，故D正确，C错误． 4．已知 A．5 B．23 C．25 D．27 答案 B 解析 因为 所以＝x＋＝x＋x－1＝23. 5．(多选)(2023·泰安模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|，实数a，b满足f(a)＝f(b)(a<b)，则( ) A．2a＋2b>2 B．∃a，b∈R，使得0<a＋b<1 C．2a＋2b＝2 D．a＋b<0 答案 CD 解析 画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．
由图知1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2，故A错，C对． 由基本不等式可得2＝2a＋2b>2＝2，所以2a＋b<1，则a＋b<0，故B错，D对． 6．(2023·枣庄模拟)对任意实数a>1，函数y＝(a－1)x－1＋1的图象必过定点A(m，n)，f(x)＝ x的定义域为[0,2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，则g(x)的值域为( ) A．(0,6] B．(0,20] C．[2,6] D．[2,20] 答案 C 解析 令x－1＝0得x＝1，y＝2，即函数图象必过定点(1,2)， 所以m＝1，n＝2， f(x)＝x＝2x，由 解得x∈[0,1]， g(x)＝f(2x)＋f(x)＝22x＋2x，令t＝2x， 则y＝t2＋t，t∈[1,2]， 所以g(x)的值域为[2,6]． 7．计算化简： (1) (2) 答案 (1)0.09 (2) 解析 (1) (2) ＝ ＝ ＝ 8．已知函数f(x)＝3x＋1－4x－5，则不等式f(x)<0的解集是________． 答案 (－1,1) 解析 因为函数f(x)＝3x＋1－4x－5， 所以不等式f(x)<0即为3x＋1<4x＋5， 在同一平面直角坐标系中作出y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象，如图所示，
因为y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象都经过A(1,9)，B(－1,1)， 所以f(x)<0，即y＝3x＋1的图象在y＝4x＋5图象的下方， 所以由图象知，不等式f(x)<0的解集是(－1,1)． 9．已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是奇函数． (1)求实数k的值； (2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围． 解 (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0， ∴k＝2， 经检验k＝2符合题意，∴k＝2. (2)f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)， ∵f(1)<0， ∴a－<0，又a>0，且a≠1， ∴0<a<1， 从而y＝ax在R上单调递减，y＝a－x在R上单调递增， 故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减， 不等式f(m2－2)＋f(m)>0 可化为f(m2－2)>f(－m)， ∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0， 解得－2<m<1， ∴实数m的取值范围是(－2,1)． 10．(2023·武汉模拟)函数f(x)＝a2x＋ax＋1(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值为13，求实数a的值． 解 由f(x)＝a2x＋ax＋1， 令ax＝t，则t>0， 则y＝t2＋t＋1＝2＋， 其对称轴为t＝－. 该二次函数在上单调递增． ①若a>1，由x∈[－1,1]，得t＝ax∈， 故当t＝a，即x＝1时， ymax＝a2＋a＋1＝13，解得a＝3或a＝－4(舍去)． ②若0<a<1，由x∈[－1,1]， 可得t＝ax∈， 故当t＝，即x＝－1时， ymax＝2＋＋1＝13. 解得a＝或a＝－(舍去)． 综上可得，a＝3或.
11．(多选)(2022·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝a·|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是( ) A．a＋b＝0 B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0 C．若x<y<0，则f(x)<f(y) D．f(x)的值域为[0,2) 答案 ABD 解析 ∵函数f(x)＝a·|x|＋b的图象过原点， ∴a＋b＝0，即b＝－a，f(x)＝a·|x|－a， 且f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交， ∴b＝2，a＝－2，f(x)＝－2·|x|＋2，故A正确； 由于f(x)为偶函数，故若f(x)＝f(y)，且x≠y， 则x＝－y，即x＋y＝0，故B正确； 由于在(－∞，0)上，f(x)＝2－2·2x单调递减， 故若x<y<0，则f(x)>f(y)，故C错误； ∵|x|∈(0,1]， ∴f(x)＝－2·|x|＋2∈[0,2)，故D正确． 12．(2022·长沙模拟)若ex－ey＝e，x，y∈R，则2x－y的最小值为________． 答案 1＋2ln 2 解析 依题意，ex＝ey＋e，ey>0， 则e2x－y＝＝＝ey＋＋2e≥2＋2e＝4e， 当且仅当ey＝，即y＝1时取“＝”， 此时，(2x－y)min＝1＋2ln 2， 所以当x＝1＋ln 2，y＝1时，2x－y取最小值1＋2ln 2.
13．(2023·龙岩模拟)已知函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系为( ) A．f(cx)≥f(bx) B．f(cx)≤f(bx) C．f(cx)>f(bx) D．f(cx)＝f(bx) 答案 A 解析 根据题意，函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)， 则有＝1，即b＝2， 又由f(0)＝3，得c＝3， 所以bx＝2x，cx＝3x， 若x<0，则有cx<bx<1， 而f(x)在(－∞，1)上单调递减， 此时有f(bx)<f(cx)， 若x＝0，则有cx＝bx＝1， 此时有f(bx)＝f(cx)， 若x>0，则有1<bx<cx， 而f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 此时有f(bx)<f(cx)， 综上可得f(bx)≤f(cx)． 14．(2023·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________． 答案 解析 ∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”， ∴存在x0∈[－1,1]满足f(－x0)＝－f(x0)， ∴ ∴2m＝－ 构造函数y＝－ x0∈[－1,1]， 令t＝ 则y＝－－t＋2＝2－在上单调递增， 在(1,3]上单调递减， ∴当t＝1时，函数取得最大值0， 当t＝或t＝3时， 函数取得最小值－， ∴y∈， 又∵m≠0，∴－≤2m<0， ∴－≤m<0. |
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