无理数的认识——对无理数发现历程的反思

虽然人们很早就发现了无理数，但是并没有急于去定义无理数，也没有急于定义一个可以包括无理数在内的数的集合（现在我们在中学就知道这个集合为实数集合）。我想，其原因至少有两个：

一．必要性

我们已经看到，从自然数开始，每扩充一次数的集合都是为了满足某种运算的需要，或者是讨论运算法则的需要。虽然上面谈到，人们很早就发现在运算中会用到无理数，但是在实际运算中，只需用无理数的近似值就可以了。事实上，在我们的现实生活中，得到的数据几乎都是近似的。关于近似的功能，可以参考美国天文学家纽克姆的一段话：

“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内，三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大显微镜都不能分辨的一个量”

即便是今天，我们对无理数的处理也是用近似的方法，现代计算机的运算，不特殊指明时，无论是对有理数还是对无理数都精确到小数点后8位。

二．可能性

人们长期以来习惯于用分数来表示有理数，据记载，是16世纪的荷兰工程师和数学家斯蒂芬开始用小数表示有理数，他用

24 3(1)7(2)5(3)

来表示有理数24(375/1000)。直到18世纪，一个稳定的十进位小数的表达形式才逐渐形成，即把上面的分数表示为24.375。

另一方面，一直到18世纪人们也没有完全认清无理数的性质，因此对于无理数本身无法抽象出一个合理的表述方式。虽然早在丢番图时代人们就发现，以有理数为系数的高次方程的根可以是有理数也可以是无理数，并且称这样的数为代数数，但是，是否可以用代数数来定义无理数呢？虽然可以证明代数数对于四则运算也是封闭的，但是，是否还存在代数数以外的数呢？欧拉认为还存在其他的数，并称这类数为超越数，因为它们“超越了代数方法的能力之外”，他猜想圆周率π就是一个超越数。判定π是否为超越数的问题是十分重要的，因为这涉及古希腊的一个作图问题“化圆为方”：做一个面积等于单位圆的正方形。1844年，法国数学家柳维尔用构造性方法证明了超越数的存在，从他的论文的题目“论既非代数无理数又不能化为代数无理数的广泛数类”就可以体会这一类数的性质。1873年，法国数学家埃尔米特给出了一个技巧证明了e是一个超越数，其中e≈2.71828被称为自然对数的底，是在现代数学中非常重要的一个数。1882年，德国数学家林德曼修改了埃尔米特的方法，成功证明了π是一个超越数，也完全解决了化圆为方这个古老的问题。

虽然德国数学家康托利用对应的方法证明了超越数的个数要远远超过代数数，但是，至今为止，人们能够清晰刻画的超越数依然是寥寥无几。1900年在巴黎召开了世界数学家大会，上个世纪最伟大的数学家，德国哥廷根大学的希尔伯特教授在会上作了一个题为“数学问题”的重要演讲。讲演中提出的23个问题对未来数学的发展提出了挑战，这些问题大多数已经得到解决，其解决过程很好地促进了20世纪数学的发展，其中第7个问题的题目就是“某些数的无理性与超越性”。

从上面的讨论可以看到，合理地定义无理数（进而实数）并不是轻而易举的事情。虽然在现代的数学教学中，初中阶段就把数集扩张到了实数，但是，与我们的教学过程相反，在数学发展的历史上，实数理论的确立却比微积分的出现还要晚，甚至可以说，是为了更合理地解释微积分才产生了实数理论。正如克莱因在他的《数学：确定性的丧失》一书中所说：

“数学史上这一系列事件的发生顺序是耐人寻味的，并不是按着先整数，分数，然后无理数，复数，代数数和微积分的顺序，数学家们是按着相反的顺序与它们打交道的。......他们非到万不得已才去进行逻辑化的工作”

我们还是先讨论微积分的产生，然后再分析人们到底遇到了什么困难，才“万不得已”地去定义实数理论。微积分的产生至少依赖两个重要的基础性工作，一个是直角坐标系：把代数式与图形有机地结合起来；一个是建立模型的思想：用代数式来表述物理现象。