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说的是有赌徒在赌场赌博，赢的概率是p，输的概率1-p，每次的赌注为1元，假设赌徒最开始时有赌金n元，赢了赌金加一元，输了赌金减一元。问赌徒输光的概率是多少？这个问题与上面解决的酒鬼悬崖问题的数学模型完全一样，赌金的数目对应于酒鬼漫步中的1维距离x，悬崖位置x=0便对应于赌金输光赌徒破产。从上面分析可知，即使p=1/2，酒鬼也必定掉下悬崖。赌徒问题中赢的概率p=1/2对应于公平交易，但事实上赌徒与赌场赢的概率比是（49:51）。即便是公平交易，与酒鬼类似，赌徒最终仍然破产，无论你最初有多少赌金，因为你的赌本毕竟是有限的，而你的博弈对手（赌场）理论上而言拥有无限多的赌本。 酒鬼失足（或赌徒破产）问题还可以稍加变换构成一些新型的趣题。比如说，假设酒鬼的路上两边都有悬崖，计算分别掉到两边悬崖的概率。赌博问题上，便相当于两个赌徒A和B赌博，看谁先输光。有一个“网球比赛的输赢问题”，也是基于类似的数学模型。 （图片来自网络） 也可以假设酒鬼的路上根本没有悬崖，且路的两头都可以无限延伸，酒鬼从自家门口出发，要你计算，酒鬼出去漫游之后，最后还能够回到家的概率等于多少？ 上面的所有例子，涉及的都是最简单的1维无规行走问题。从1维可以扩展到2维、3维以致更多的维数。但是，有时候并非简单的扩展，比如上面那个“酒鬼回家”的问题，空间维数不一样的时候，答案却大不一样。 首先看看1维的情况：酒鬼随机游走在长度无限的路上，时左时右，但只要时间足够长，他最终总能回到出发点。因此，回家的概率是100% 。二维的情形也类似，相当于酒鬼从家里出发，游走在街道呈方格网格状分布（设想为无限大）的城市里，他每走到一个十字路口，便概率均等地从4个方向（包括来的方向）中选择一条路（图3-2-1a）。和1维的情况类似，只要时间足够长，这个醉鬼总能回到家，概率仍然是 100% 。 图3-2-1：酒鬼漫步和二维无规行走路径 有一个颇为著名的美籍匈牙利犹太裔数学家波利亚（George Pólya，1887年－1985年）认真研究了这个“酒鬼能否回家”的问题，刚才所说的在1维2维情况酒鬼回家概率等于100%便是被他在 1921 年证明的。波利亚二战时移民美国，后来是斯坦福大学教授。 “酒鬼能否回家”问题的1维2维答案不足为奇，波利亚令人吃惊的贡献是证明了这个问题在维数更高的情况下酒鬼回家的概率大大小于1！比如说，在三维网格中随机游走，最终能回到出发点的概率只有 34% 。 图3-3-1：“酒鬼小鸟回家”定理 酒鬼不可能在空中游走，鸟儿的活动空间才是3维的，因此，美国日裔数学家角谷 静夫（Shizuo Kakutani，1911–2004）将波利亚定理用一句通俗又十分风趣的语言来总结：喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家。 无规行走也是物理学中布朗运动的数学模型，欲知详情，且听下回分解。 |
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