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二次函数是初中数学的重点内容，也是各地中考考查的一个热点.需要同学们熟练地掌握它的基本性质，并能灵活应用. 本文就同学们学习本单元过程中的典型问题，借助三件利器“画图”“分类”“转化”等方法，帮助同学们解决学习中的实际困难.  一． 借助二次函数图像利器解题 无论是哪一种函数，我们都是通过图像去研究它的性质，然而在同学们的学习过程中，函 数图像是最被忽视的一个内容.画二次函数图像不仅是研究二次函数性质的工具，也是解决许多数学问题的重要方法.熟练应用这一工具可以帮助同学们在学习中获得逻辑推理、数形 结合等思想方法，从而为进一步学习奠定基础.  1.利用二次函数图像判断有关系数及代数式的符号. 例1 （2018绥化中考题）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图像如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4,0），抛物线的对称轴是x＝1，下列结论中：①abc＞0②2a+b＝0③方程ax2+bx+c＝3有两个不相等的实数根④抛物线与x轴的另一个交点坐标为（－2,0）⑤若点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c. 其中正确的有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个  解析：根据开口方向，对称轴，与y轴交点，就能知道a负，b正，c正得到abc为负，所以①错；对称轴x＝－b/2a＝1，解得2a+b＝0，故②正确；图像可以看出顶点的纵坐标大于3，所以抛物线上有两个点的纵坐标为3，所以③正确；对称轴是x＝1，一个交点坐标为（4,0）所以另一个交点坐标为（－2,0）故④正确；a+b+c是x＝1时，所以a+b+c表示的是抛物线的最高点纵坐标，故⑤正确.故选B.  2.不求函数解析式，利用图像对称性解题方程   3.利用二次函数图像的平移规律解题. 例3（2018绍兴中考题）若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（ ） A．（﹣3，﹣6） B．（﹣3，0） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣3，﹣1） 【解答】∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1， ∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0）， ∴该抛物线解析式为y=x（x﹣2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1． 将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x﹣1+2）2﹣1﹣3=（x+1）2﹣4． 当x=﹣3时，y=（x+1）2﹣4=0， ∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）． 故选：B．  二、巧用“分类”思想利器解题 1.在不确定函救的类型时，要分类讨论. 例4.（易错题）若关于x的函数y=（a+2）x2﹣（2a﹣1）x+a﹣2的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为_______． 【解答】∵关于已知函数图象与坐标轴有两个交点， ∴可分如下三种情况： ①当函数为一次函数时，有a+2=0， ∴a=﹣2，此时y=5x﹣4，与坐标轴有两个交点； ②当函数为二次函数时（a≠﹣2），与x轴有一个交点，与y轴有一个交点， ∵函数与x轴有一个交点， ∴△=0， ∴（2a﹣1）2﹣4（a+2）（a﹣2）=0， 解得a=4.25； ③函数为二次函数时（a≠﹣2），与x轴有两个交点，与y轴的交点和x轴上的一个交点重合，即图象经过原点， ∴a﹣2=0，a=2． 当a=2，此时y=4x2﹣3x，与坐标轴有两个交点． 故答案为﹣2，2或4.25.  2.根据函数的自变量范围分类讨论解题. 例5.（2018潍坊中考题）已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（ ） A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6 【解答】当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1， 解得：h1=1，h2=3（舍去）； 当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意； 当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1， 解得：h3=4（舍去），h4=6． 综上所述：h的值为1或6． 故选：B．   三、灵活“转化”思想利器破难点 1.根据二次函数与方程、不等式三者关系，互相转化解题.  2.利用二次函数的观点的互相变换 例7.（南通中考题）已知x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m－n+2≠0，则当x=3(m+n+1)时，多项式x2+4x+6的值等于 ________ 【解答】∵x=2m+n+2和x=m+2n时， 多项式x2+4x+6的值相等， ∴3m+3n+2=﹣4，m+n=﹣2， ∴当x=3（m+n+1）=3（﹣2+1）=﹣3时， x2+4x+6=（﹣3）2+4×（﹣3）+6=3． 故答案为：3． 练习 1.（2018·朝阳）若函数y=（m﹣1）x2﹣6x+ 1.5m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（ ） A．﹣2或3 B．﹣2或﹣3 C．1或﹣2或3 D．1或﹣2或﹣3 2.（2018·滨湖区模拟）二次函数y=﹣x2﹣2x图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线y=1/2x +b与该新图象有两个公共点，则b的取值范围为________． 参考答案 1.C． 2. 0＜b＜1或b＜﹣9/16 有疑问留言，关注本平台，有更多的增值服务。 |
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