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在上节课我们学习了泰勒中值定理1和2，今天继续讲解泰勒公式的其它用法。在学习泰勒公式前我们先讲下此章节的内容与难点。 微分学理论的最一般情形是泰勒公式，它建立了函数增量、自变量增量与一阶及高阶导数的关系，因而可以用导数及高阶导数来研究函数。拉格朗日中值定理是泰勒公式的特殊情形。 要学会用泰勒公式首先要学会如何求泰勒公式，要熟练掌握基本函数：e^x,sinx,cosx,ln(1+x),(1+x)^v等的泰勒公式，由泰勒公式的唯一性会用这些泰勒公式求得某些函数的泰勒公式。 要学会用泰勒公式处理某些问题，如求某些未定式的极限，确定无穷小的阶，证明函数不等式及证明函数或它的导数存在某种特征点。 一.带佩亚诺余项与拉格朗日余项的n阶泰勒公式 (一)带佩亚诺余项的n阶泰勒公式 列题1.在x=0点展开下列函数至括号内的指定阶数 (1)f(x)=e^x*cosx (x^3) 分析：由已知的泰勒公式，通过适当的运算而求得 (2)f(x)=e^sinx (x^3) 在上述的求解中要注意无穷小量阶的运算性质。 (二)带拉格朗日余项的n阶泰勒公式 求下列函数f(x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶泰勒公式： (1)f(x)=(1-x)/(1+x) (2)f(x)=e^x*sinx 求带拉格朗日余项的n阶泰勒公式，实质上要求n阶导数表达式，可用我们在第二章学习的方法求解。 这里面强调下：当xo=0时的泰勒公式又称为麦克劳林公式。 二.带佩亚诺余项的泰勒公式的求法 (一)泰勒公式的唯一性 泰勒公式的唯一性定理表明：不论用何种方法求得公式(4.6)，它一定是f(x)在x=xo的n阶泰勒公式。这使得我们可以不通过计算f(x)在xo的各阶导数来求得f(x)的泰勒公式。 (二)求泰勒公式的方法 1.直接求法 通过求f(xo),f'(xo),.....f^(n)(xo)而求得f(x)的n阶泰勒公式，如求以下初等函数的泰勒公式； 这里面请大家注意：角度∈(0,1) 2.间接求法 利用已知的泰勒公式，通过适当运算而求得f(x)的泰勒公式，具体有以下方法： 2.1四则运算 注意：在我们用四则运算来求题目中的麦克劳林公式时，在利用已知的基本初等函数的泰勒公式求另外一些初等函数的泰勒公式时，要熟悉无穷小量阶的运算（第一章已经学过），我们常用以下阶的运算规律：设n,m为正数，则
2.2复合运算(变量替换)
2.3逐项求导或求积分
基本初等函数的麦克劳林公式希望大家能够记在心里，不论理解与否都要把它记住，因为这在我们在计算泰勒公式以及前面所讲到的极限、无穷小、导数等等题目都非常有帮助，有些题目拿到手直接用泰勒公式会比你想象中的还要简单，可能你需要通过大量的计算才能得到正确答案，而有些同学直接就可写出正确答案，如果正确的运用泰勒公式，需要同学们认真的理解定义定理，适用范围。题做百遍，其义自现，希望大家能够很好的把握这一章节。 下节课我们学习一元函数泰勒公式的若干应用。(收藏关注下) |
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