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问题：设函数f(x)在[0,+∞)上存在二阶导数，f(0)=0,f’(0)>0，f’’(x)≤a<0，其中a为常数. 证明：(1) 存在x0>0，使f’(x0)=0； (2)方程f(x)=0在(0,+∞)内有唯一实根. 【思路分析】：两个问题都是证明根的存在性，加一个唯一性。 ● 存在性的常用证明思路：零点定理(直接验证函数满足零点定理的条件)、罗尔定理(验证一个原函数满足罗尔定理的条件) ● 唯一性的常用证明思路：单调性、反证法 【证明一】：因为f(x)在[0,+∞)上存在二阶导数，即f(x), f’(x)在[0,+∞)上连续, 且f’’(x)在[0,+∞)上存在, 所以由泰勒公式, 有 由于f’’(x)≤a<0，所以 并且有 由极限的保号性, 则存在X>0, 当x∈(X,+∞)时, 所以 由导数的定义, 有 同样由极限的保号性, 存在x∈(0,δ), 使得 所以 所以由零点定理, 在[x2,x1]上, 可知存在 c∈(x2,x1), 使得 f(c)=0. 所以在[0,c]上使用罗尔定理, 则有x0∈(0,c), 使得f’(x0)=0. 假设除了c外函数还有一个非零的零点x3, 则有0, c, x3为函数f(x)的零点，则两两使用罗尔定理可得两个一阶导数等于零的点, 对一阶导数结果再使用罗尔定理, 可得存在二阶导数等于0的点, 所以与二阶导数小于0矛盾，因此函数只有一个非零的零点. 【证明二】 (1)【证明一】：由拉格朗日中值定理，对任意x>0，有 由于f’’(x)≤a<0,x>0，所以存在x1>0，使f’(x1)<0(参考证明一)，故由零点定理可知，存在x0∈(0,x1)，使f’(x0)=0. (1)【证明二】：拉格朗日中值定理，对任意x>0，并由f’’(x)≤a<0，有 取
则有
故由零点定理可知，存在x0∈(0,x1)，使f’(x0)=0． (2) 【证法一】(根的唯一性)因为f’’(x)≤a<0，所以f’(x)在[0,+∞)上单调递减. 由此可得: 当0<x<x0时，f’(x)> f’(x0)=0，从而f(x)严格单调增加，即有f(x0)>f(x)>f(0)=0，则方程f(x)=0在0<x<x0内无实根. 当x>x0时，f’(x)<f’(x0)=0，则f(x)在严格单调递减，方程f(x)=0在x>x0时至多只有一个实根. (根的存在性证明一)由拉格朗日中值定理，有
由于f’(x0)=0，所以
再由拉格朗日中值定理，存在η∈(x0,x)，使得
由于a<0，所以存在x2>x0，使f(x2)<0(参照证明一)，由零点定理，存在c∈(x0,x2)，使f(c)=0，即方程f(x)=0在(0,+∞)内有唯一实根x=c． (根的存在性证明二)f(x)在x0处的一阶泰勒公式为
所以可得：存在x2>x0，使f(x2)<0(参照证明一)，由零点定理，存在c∈(x0,x2)，使f(c)=0，即方程f(x)=0在(0,+∞)内有唯一实根x=c． (2)【证法二】：(根的唯一性)因为f’’(x)≤a<0，所以曲线y=f(x)在[0,+∞)上是严格凸的，又由f(0)=0,f’(x0)=0，可知，x0为f(x)在(0,+∞)内唯一的驻点，且取最大值f(x0)>0. 并且当0<x<x0时，f(x)严格单调递增，f(x)>0；当x>x0时，f(x)严格单调递减，于是f(x)=0在(0,+∞)内最多有一个根，且若存在只能在(x0,+∞)内. (根的存在性) f(x)在x0处的一阶泰勒公式为
取
有
由零点定理，存在c∈(x0,x2)，使f(c)=0，即方程f(x)=0在(0,+∞)内有唯一实根x=c． 【注】以上集成多位老师、同学解题思路与过程，欢迎指出解题过程中的问题，更希望有更多更好的证明方法分享、交流！谢谢 |
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