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今天老黄要运用罗尔中值定理来证明方程根的存在性问题。具体问题如下：  证明：设f为n阶可导函数，若方程f(x)=0有n+1个相异实根，则方程f^(n)(x)=0至少有一个实根. 分析：这显然不是整式方程，因为一次方程一阶可导，但它没有两个实数根，它的1阶导数是常量函数，对应的方程没有根。n次方程当然也是n次可导的，但它最多只有n个实数根，没有n+1个相异实数根，而且它的n阶导数都是常量函数，对应的方程都是没有根的。不过它是什么方程，并不重要，反正总有符合题目所给条件的方程。 我们就记这个方程的n+1个相异实根从小到大排列，并且分别为x0,x1,x2, ……, xn。在每两个相邻的根之间的区间上，函数都符合罗尔中值定理。因此根据罗尔中值定理，就知道存在一系列的点，这里记为ξ1i，i=1，2，……，n，每一个点都在相邻的两个根之间，因此它们也是从小到大排列的。 而且这些点的导函数值都等于0，即，它们都是一阶导函数对应的方程的根。注意点的数量减少了一个，因此根的数量也减少了一个，即从n+1个变成了n个。 把一阶导数看作是原函数，又可以再运用一次罗尔中值定理，就可以知道，在这些点的任何两个相邻的点之间又存在一系列的点，这次记它们为ξ2i，每一个点也在上一个方程的相邻的两个根之间，同样从小到大排列。 而且这些点的二阶导函数值都等于0，即它们都是二阶导函数对应的方程的根。注意，点的数量从n个减少到了n-1个。 依此类推，每次都把最后一阶的导函数看作是同类方程，运用n次罗尔中值定理之后，得到的点就只剩下一个，记为ξ，它的n阶导函数值就等于0，也就是n阶导函数对应的方程有唯一的实根ξ。得证。下面组织解题过程： 证：设f(x)=0的n+1个相异实根为：x0<x1<x2<…<xn, 则 由罗尔中值定理知：存在ξ1i(i=1,2,…,n)，且x0<ξ11<x1<ξ12<x2<…<ξ1n<xn, 使得f’(ξ1i)=0，(i=1,2,…,n). 再由罗尔中值定理知： 至少存在ξ2i(i=1,2,…,n-1)，且ξ11<ξ21<ξ12<ξ22<…<ξ2_(n-1)<ξ_2n, 使得f’(ξ2i)=0，(i=1,2,…,n-1). 如此运用罗尔中值定理n次后，可知 至少存在一点ξ，且ξ_(n-1)1<ξ<ξ_(n-1)2, 使得f(n)(ξ)=0. ∴方程f^(n)(x)=0至少有一个实根ξ. 最后还有一个问题，如果方程有n+1个实根，其中包含重根，会怎么样呢？理论上，就算有重根，上面的论述也是合理的。不过重根一般只对于多项式方程而言，前面已经说过了，这个方程不可能是多项式方程，所以不存在重根问题。 |
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