罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用_2

第3章         中值定理与导数的应用

内容概要

名称	主要内容（3.1、3.2）
3.1 中值 定理	名称	条件		结论
	罗尔中值定理	：（1）在上连续；（2）在内可导；（3）		至少存在一点使得
	拉格朗日中值定理	：（1）在上连续；（2）在内可导		至少存在一点使得
	柯西中值定理	、：（1）在上连续，在内可导；（2）在内每点处		至少存在一点使得
3.2  洛必达 法则	基本形式		型与型未定式
	通分或取倒数化为基本形式		1）型：常用通分的手段化为型或型； 2）型：常用取倒数的手段化为型或型，即： 或；
	取对数化为 基本形式		1）型：取对数得，其中或； 2）型：取对数得， 其中 或； 3）型：取对数得， 其中 或。

 

 

课后习题全解

习题3-1

★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值。

（1）；  （2）。

知识点：罗尔中值定理。

思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程，得到的根便为所求。

解：（1）∵在上连续，在内可导，且，

∴在上满足罗尔定理的条件。令得即为所求。

   （2）∵在上连续，在内可导，且，

        ∴在上满足罗尔定理的条件。令

，得即为所求。

★2.验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性。

知识点：拉格朗日中值定理。

思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程，若得到的根则可验证定理的正确性。

解：∵在连续，在内可导，∴在区间上满足拉格朗日中值定理的条件。又，，

∴要使，只要：，

∴，使，验证完毕。

★3.已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的。

解：要使，只要，从而即为满足定理的。

★★4.试证明对函数应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间。

证明：不妨设所讨论的区间为，则函数在上连续，在内可导，从而有，即，

解得，结论成立。

★5.函数与在区间上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值。

知识点：柯西中值定理。

思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程，得到的根便为所求。

解：∵及在上连续，在内可导，且在内的每一点处有，所以满足柯西中值定理的条件。要使，只要，解得， 即为满足定理的数值。

★★★6.设在上连续，在内可导，且。求证：

存在，使。

知识点：罗尔中值定理的应用。

思路：从结论出发，变形为，构造辅助函数使其导函数为， 然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常用的方法。

证明：构造辅助函数，

根据题意在上连续，在内可导，且，

，从而由罗尔中值定理得：存在，使

，即。

注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使，只要

 

  ∴只要设辅助函数

★★7.若函数在内具有二阶导函数，且

，证明：在内至少有一点，使得。

知识点：罗尔中值定理的应用。

思路：连续两次使用罗尔中值定理。

证明：∵ 在内具有二阶导函数，∴在、内连续，

在、内可导，又，

∴由罗尔定理，至少有一点、，

使得、；又在上连续，在内可导，

从而由罗尔中值定理，至少有一点，使得。

★★8.若4次方程有4个不同的实根，证明：

的所有根皆为实根。

知识点：罗尔中值定理的应用。

思路：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。

证明：令

则由题意，有4个不同的实数零点，分别设为，

∵在、、上连续，在、、上可导，

又，

∴由罗尔中值定理，至少有一点、、

使得，即方程至少有3个实根，又三次方程最多有3个实根，从而结论成立。

★★★9.证明：方程只有一个正根。

知识点：零点定理和罗尔定理的应用。

思路：讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用来讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。

解：令，∵在上连续，且，，

∴由零点定理，至少有一点，使得；

假设有两个正根，分别设为、（），

则在在上连续，在内可导，且，

从而由罗尔定理，至少有一点，使得，这不可能。

∴方程只有一个正根。

★★10.不用求出函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间。

知识点：罗尔中值定理的应用。

思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。

解： ∵在、、上连续，

在、、内可导，且，

∴由罗尔中值定理，至少有一点、、，

使得，即方程至少有三个实根，

又方程为三次方程，至多有三个实根，

∴有3个实根，分别为、、。

★★★11.证明下列不等式：

（1）  ；    （2） 当 时， ；

（3） 设 ，证明；    （4） 当时，。

知识点：利用拉格朗日中值定理。

思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数，通过式子（或）证明的不等式。

证明：（1）令， ∵在上连续，在内可导，

∴由拉格朗日中值定理，得。

（2）令，∵在上连续，在内可导，

∴由拉格朗日中值定理，得 ，

∵，∴，从而当 时，。

（3）令，∵在上连续，在内可导，

∴由拉格朗日中值定理，得，

∵，∴，即， 。

（4）令，∵在上连续，在内可导，

∴由拉格朗日中值定理，得，

∵，∴，即当时，。

★★12.证明等式：.

知识点：（为常数）。

思路：证明一个函数表达式恒等于一个常数，只要证

证明：令，

当时，有；当时，有

，∴；

∴成立。

★★★13.证明：若函数在内满足关系式，且，则。

知识点：

思路：因为 ，所以当设时，只要证即可

证明：构造辅助函数，

则；

∴

∴。

★★★14.设函数在上连续，在内有二阶导数，且有

，

试证在内至少存在一点，使。

知识点：拉格朗日中值定理的应用。

思路：关于导函数在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析各层导函数改变量和自变量改变量的符号，得出结论。

证明：∵ 在、上连续，在、内可导，

∴由拉格朗日中值定理，至少有一点、，

使得，；

又在上连续，在内可导，从而至少有一点，

使得。

★★★15.设在上可微，且试证明在内至少有两个零点。

知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。

思路：要证明在某个区间内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在上有三个零点，即可以利用罗尔中值定理，得出结论。

证明：∵，由极限的保号性知，

（不妨设），对于，均有，

特别地，，使得，∴得；

同理，由得（），使得，

从而得；

又∵在上连续，∴由介值定理知，至少有一点使得；

∵在、上连续，在、内可导，且，

∴由罗尔中值定理知，至少有一点、，使得，结论成立。

★★★16.设在闭区间上满足，试证明存在唯一的，使得

。

知识点：微分中值定理或函数单调性的应用。

思路：证明唯一性的题目或考虑利用反证法；或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理，或利用函数的单调性得出结论。

证明：存在性。

∵在上连续，在内可导，∴由拉格朗日中值定理知，至少有一点，使得。

唯一性的证明如下：

方法一：利用反证法。假设另外存在一点，使得，

又∵在（或）上连续，在（或）内可导，

∴由罗尔中值定理知，至少存在一点（或），使得，这与在闭区间上满足矛盾。从而结论成立。

方法二：∵在闭区间上满足，∴在单调递增，

从而存在存在唯一的，使得。结论成立。

★★★17.设函数在的某个邻域内具有阶导数，且

试用柯西中值定理证明：

。

知识点：柯西中值定理。

思路：对、在上连续使用次柯西中值定理便可得结论。

证明：∵、及其各阶导数在上连续，在上可导，

且在每一点处，，又，

∴连续使用次柯西中值定理得，

，从而结论成立。

习题3-2

★★1.用洛必达法则求下列极限：

（1） ； （2） ； （3）； （4）；

（5）；  （6）； （7） ； （8）；      

（9） ；     （10）；    （11）；  （12）；（13）； （14）； （15）；   （16）；

（17）； （18）； （19）；  （20）。

知识点：洛必达法则。

思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：型与型未定式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于型与型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于型、型与型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。

解：  （1） ；

     （2） ；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7） ；

（8）；

（9） ；

（或解为：）

（10）；

（或解为：∵当时，，∴）

（11）；

（12）；

（或解为：

）

（13）；

（14）；

（15）；

（16）

；

（17）；

（18）；

（19）；

（20）令，则

  

∴

★★2.验证极限存在，但不能用洛必达法则求出。

知识点：洛必达法则。

思路：求导后极限如果不存在，不能说明原式极限不存在，只能说洛必达法则失效。洛必达法则不能解决所有的未定型极限问题。

解：∵ ，∴极限存在；

若使用洛必达法则，得，

而不存在，所以不能用洛必达法则求出。

★★★3.若有二阶导数，证明。

知识点：导数定义和洛必达法则。

思路：使用洛必达法则，对极限中的函数上下求关于的导数，然后利用导数定义得结论。

证明：∵

  ，∴结论成立。

★★★4.讨论函数在点处的连续性。

知识点：函数在一点连续的概念。

思路：讨论分段函数在分段点处的连续性，要利用函数在一点处左、右连续的概念。

解：∵

，∴在处右连续；

又∵，∴在处左连续；

从而可知，在点处连续。

★★★5.设在处二阶可导，且。试确定的值使在处可导，并求，其中  。

知识点：连续和可导的关系、洛必达法则。

思路：讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性，一般考虑利用定义。

解：要使在处可导，则必有在处连续，

又∵在处，∴；

由导数定义，

。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

内容概要

名称	主要内容（3.3）
3.3 泰勒公式	泰勒中值定理：如果在含有的某个开区间内具有阶的导数，则对任一，有 ，此公式称为阶泰勒公式； 其中（介于于之间），称为拉格朗日型余项；或，称为皮亚诺型余项。
	阶麦克劳林公式： 其中（）或。
	常用的初等函数的麦克劳林公式：1） 2） 3） 4） 5） 6）

 

 

习题3-3

★1.按的幂展开多项式。

知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法。求按的幂展开的阶泰勒公式，则依次求直到阶的导数在处的值，然后带代入公式即可。

解：，；，；

，；；；；

将以上结果代入泰勒公式，得

。

★★2.求函数按的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。

知识点：泰勒公式。

思路：同1。

解：，；，；

，；；将以上结果代入泰勒公式，得

，（介于与4之间）。

★★★3.把在点展开到含项，并求。

知识点：麦克劳林公式。

思路：间接展开法。为有理分式时通常利用已知的结论。

解：

；

又由泰勒公式知前的系数，从而。

★★4.求函数按的幂展开的带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式。

知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，为对数函数时，通常利用已知的结论

。

方法一：（直接展开），；，；

，；，；

将以上结果代入泰勒公式，得

。

方法二：

。

★★5.求函数按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式。

知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，为有理分式时通常利用已知的结论。

方法一：，；，；，

，；

将以上结果代入泰勒公式，得

（介于与之间）。

方法二：

 （介于与之间）。

★★6.求函数的带有皮亚诺型余项的阶麦克劳林展开式。

知识点：麦克劳林公式。

思路：直接展开法，解法同1；间接展开法。中含有时，通常利用已知结论

。

方法一：，；，；，

，将以上结果代入麦克劳林公式，得

 。

方法二：

 。

★★7.验证当时，按公式计算的近似值时，所产生的误差小于，并求的近似值，使误差小于。

知识点：泰勒公式的应用。

思路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围。

解：；。

★★8.用泰勒公式取，求的近似值，并估计其误差。

知识点：泰勒公式的应用。

解：设，则

，从而；其误差为：。

★★★9.利用函数的泰勒展开式求下列极限：

（1） ；   （2） 。

知识点：泰勒展开式的应用。

思路：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。

解：（1）

。

（2）

。

★★10.设，证明：。

知识点：泰勒公式。

思路：用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其幂级数展开的一部分时，可考虑用泰勒公式。

解：（介于与之间），∵ ，∴，

从而，结论成立。

（也可用§3.4函数单调性的判定定理证明之）

★★11.证明函数是次多项式的充要条件是。

知识点：麦克劳林公式。

思路：将按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。

解：必要性。易知，若是次多项式，则有。

充分性。∵，∴的阶麦克劳林公式为：

，即是次多项式，结论成立。

★★★12.若在上有阶导数，且

证明在内至少存在一点，使。

知识点：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。

思路：证明，可连续使用拉格朗日中值定理，验证在上满足罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理，根据在处的泰勒展开式及已知条件得结论。

方法一：∵ 在上可导，且，

∴由罗尔中值定理知，在内至少存在一点，使得；

∵ 在上可导，且，

∴由罗尔中值定理知，在内至少存在一点，使得；

依次类推可知，在 上可导，且，

∴由罗尔中值定理知，在内至少存在一点，使得。

方法二：根据已知条件，在处的泰勒展开式为：

，

∴，从而得，结论成立。

内容概要

名称	主要内容（3.4）
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性	函数单调性的判别法：设在上连续，在内可导，则 （1）若在内，则在上单调增加； （2）若在内，则在上单调减少。
	1）  曲线凹凸性的概念：设在区间内连续，如果对上任意两点，恒有 ，则称在上的图形是凹的；如果恒有 ，则称在上的图形是凸的。 2）拐点的概念：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。
	曲线凹凸性的判别法：设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，则 （1）若在内，则在上的图形是凹的； （2）若在内，则在上的图形是凸的。

 

习题3-4

★1.证明函数单调增加。

知识点：导数的应用。

思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法。在某个区间上，（），则在单调增加（减少）。

证明：∵（仅在处），

∴在内是单调增加的。

★2.判定函数的单调性。

解：∵（仅在处），

∴是单调增加的。

★★3.求下列函数的单调区间：

（1） ； （2）； （3）；

（4）；     （5）；      （6）。

知识点：导数的应用。

思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。

解：（1） 的定义域为；令，

得，。列表讨论如下：

			－
	↗		↘		↗

由上表可知，在、内严格单增，而在内严格单减。

（2） 在内，令，得；

当 时，有；当 时，有；

∴在内严格单增，在内严格单减。

（3）的定义域为；令，

得；为不可导点。列表讨论如下：

 

			－
	↗		↘		↗

由上表可知，在、内严格单增，而在内严格单减。

（4）的定义域为，

，

∴在内严格单增。

（5）的定义域为，∵，

∴在上严格单增。

（6）的定义域为，令，得；

当时，；当时，；

∴在内严格单增，在内严格单减。

★★4.证明下列不等式：

（1） 当时，； （2）当时，；

（3）当时，； （4）时，。

知识点：导数的应用或者泰勒公式的应用。

思路：利用泰勒公式可以证明一些不等式（见习题3-3第10题），利用函数单调性也是证明不等式常用的方法。

解：（1）方法一：令，

则当时，，

∴在上严格单增；从而，

即，结论成立。

方法二：由泰勒公式，得

（），

∴，从而得，结论成立。

（2）方法一：令，则当时，，

，

∴在内严格单增，

从而，

∴在内严格单增，在内，

∴，结论成立。

注：利用的符号判断的单调性，利用的单调性判断其在某区间上的符号，从而得出在某区间上的单调性，也是常用的一种方法。

方法二：令，

当时，，

∴在内严格单增，

 ∴，从而有，，

∴，即，结论成立。

（3）令，

则当时有（仅在时，），

∴在上严格单增，从而有，

即，结论成立。

（4）令，则当时，有

从而在内严格单增，∴，即在内；

再令，

则当时，，

从而在内严格单增，∴，

即在内，结论成立。

★★★5.试证方程只有一个实根。

知识点：导数的应用。

思路：利用导数的符号判断函数的单调性，进而讨论方程的根是常用的方法。

解：易知，，即是方程的一个根；

令，则（仅在处），

∴在内严格单增，从而只有一个零点，

即方程只有一个实根。

★★6.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究例子：。

知识点：导数的应用。

思路：利用一阶导数符号判断单调性，从而证明结论。

解：单调函数的导函数不一定为单调函数。

∵（仅在处），

∴在内严格单增；

而在内严格单减，在内严格单增，从而在上不单调。

★★7.求下列函数图形的拐点及凹凸区间：

（1）； （2） ； （3） ；

（4）；  （5） ；  （6） 。

知识点：导数的应用。

思路：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。

解：（1），，∵当时，，

∴在上为凹函数，没有拐点。

（2）的定义域为；

，，令，得；

当或时，；当或时，；

∴的凹区间为、，凸区间为、；∴拐点为。

（3） 的定义域为，，，

∴在整个定义域上为凹函数，没有拐点。

（4）的定义域为，，

，∴在整个定义域上为凹函数，没有拐点。

（5） 的定义域为，，，

令，得；列表讨论如下：

	－				－

由上表可知，的凸区间为、，凹区间为，拐点为及。

（6）的定义域为，，，

令，得；当时，；当时，；

∴的凹区间为，凸区间为，拐点为。

★★★8.利用函数图形的凹凸性，证明不等式：

（1）；  （2）。

知识点：函数凹凸性的概念。

思路：利用函数凹凸性的概念可证明一些不等式，特别是不等式中含不同变量的线性组合及其函数值的线性组合时可考虑利用函数的凹凸性。

证明：（1）令，∵，∴在内是凹的。

利用凹函数的定义，，有，结论成立。

（2）令，∵在内，，∴在内是凸的。利用凸函数的定义，，有，结论成立。

★★★9.求曲线的拐点。

知识点：导数的应用。

思路：同7。

解：的定义域为，，

令，得，；现列表讨论如下：

	－				－

由上表可知，拐点为、、。

★★10.问及为何值时，点为曲线的拐点？

知识点：导数的应用。

思路：拐点通常是二阶导数的零点或者是不可导点。又高阶可导的函数的拐点一定是二阶导数的零点。

解：的定义域为，，；

将代入中，得：①；

将代入中，得：②；

由①②得，，。

★★★11.试确定曲线中的、、、，使得在处曲线有水平切线，为拐点，且点在曲线上。

知识点：导数的几何意义及导数的应用。

思路：利用可导函数的拐点一定是二阶导数的零点，在某点处的导数值等于该点处切线的斜率，以及已知条件，建立方程组，确定函数中的待定参数。

解：，； 将代入，得

 ①

将分别代入与中，得

 ②；        ③

将代入中，得 ④

由①②③④得，，，，。

★★★12.试确定中的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。

知识点：导数的应用。

思路：可导的拐点必为二阶导数为零的点；依此求出拐点坐标，写出法线方程，根据已知条件，求出值。

解：的定义域为；，；

令，得。易知，当的取值通过的两侧时，会变号，

∴与均为的拐点；∵，，

∴两拐点处法线方程分别为：，；

又两法线过原点，将代入法线方程，得，解得。

★★★★13.设函数在的某邻域内具有三阶导数，如果，

而，试问是否为拐点，为什么？

知识点：导数的应用。

思路：根据极限的保号性和拐点的定义得结论。

方法一：，不妨设，即

；

由极限的保号性知，必存在，使得，均有；

从而当时，有，当时，有；

∴为拐点。

内容概要

名称	主要内容（3.5）
3.5 函数的极值与最大值最小值	极值的概念：设函数在点的某个邻域内有定义，若对该邻域内任意一点（），恒有（或），则称在点处取得极大值（或极小值），而成为函数的极大值点（或极小值点）。
	函数极值的 判别法	第一充分条件：设函数在点的某个邻域内连续且可导（可以不存在）， （1）若在的左邻域内，；在在的右邻域内，，则在处取得极大值； （2）若在的左邻域内，；在在的右邻域内，，则在处取得极小值； （3）若在的左邻域内，不变号，则在处没有极值。 注：第一充分条件利用一阶导数符号判断函数单调性。
		第二充分条件：设在处具有二阶导数，且，，则 （1）当时，函数在处取得极大值； （2）当时，函数在处取得极小值。 注：利用驻点处二阶导数符号判断驻点是否为极值点。
	函数的最大值和最小值：注意函数极值和最值的区别和联系

 

 

习题3-5

★★1.求下列函数的极值：

（1） ； （2）； （3） ；

（4） ；        （5） ；      （6）。

知识点：极值的充分条件。

思路：求的点或者不存在的点，然后利用极值的第一或者第二充分条件进行判断。当所有的极值可疑点多于两个时，若利用第一充分条件，可列表讨论；第二充分条件仅用来对驻点是否为极值点进行判断。

解：（1）方法一： 的定义域为，

令，得，；现列表讨论如下：

			－
	↗	极大值点	↘	极小值点	↗

由上表知，在处取得极大值为，在处取得极小值为。

方法二：令，得，；

由得，， ，

∴由极值的第二充分条件知，在处取得极大值为，

在处取得极小值为。

（2）方法一：的定义域为，令，得；

当时，有；当时，有，

∴由极值的第一充分条件知，在处取得极小值为。

方法二：的定义域为，令，得；

又由，得，

∴由极值的第二充分条件知，在处取得极小值为。

（3） 方法一：的定义域为，令，得，；现列表讨论如下：

	－				－
	↘	极小值点	↗	极大值点	↘

由上表知，在处取得极小值为，在处取得极大值为。

方法二：的定义域为，令，得，；

由，得，；

∴由极值的第二充分条件知，在处取得极小值为，在处取得极大值为。

（4） 的定义域为，令，得；

当时，有；当时，有，

∴由极值的第一充分条件知，在处取得极大值为。

注：此题中的表达式比较繁琐，所以优先考虑第一充分条件。

（5） 的定义域为，

令，得，；由 ，得

， ，  ；

∴由极值的第二充分条件知，

在处取得极大值为，

在处取得极小值为，。

注：此题的单调区间有无穷多个，所以优先考虑第二充分条件。

（6）的定义域为，令，得；

为不可导点；现列表讨论如下：

			－
	↗	极大值点	↘	极小值点	↗

由上表知，在处取得极大值为，在处取得极小值为。

注：此题中的函数具有不可导点，所以用第一充分条件。

★★★2.试证：当时，取得极值。

知识点：函数取得极值的条件。

思路：在定义区间内求的点，然后利用极值的充分条件进行判断。

证明：的定义域为，令，

 ∵方程根的判别式：

∴当时，得驻点为；由，得

，

，

∴在处取得极小值，在处取得极大值。

★★3.试问为何值时，函数在处取得极值，并求出极值。

知识点：取得极值的条件。

思路：利用极值的必要条件，确定的值，然后利用充分条件，判断是极大值还是极小值。

解：根据题意，得，

即，；

由，得，

∴在处取得极大值。