第一部分 在教室里 1. 解题是一种实践性的技能,我们是通过模仿和实践来学会任何一种实践性技能的。2. 在尝试找到解法时,我们可能会不断改变我们的观点,即观察问题的方法。3. 对你所不理解的问题做出答复是愚蠢的。4. 教师千万不能错过这样的问题:未知量是什么?已知量是什么?条件是什么?5. 从理解题目到构思一个解题方案也许是漫长而曲折的。6. 解答一个题目的主要成就就在于构思一个解题方案。7. 好的思路来源于过去的经验和以前获得的知识。8. 没有任何一个题目是彻底完成了的。9. 一道以前解过的题目能被回忆起来是因为它和要解的题目有相同的未知量。10. 导数是一个函数的变化率。11. 如果你不能解所提的题目,先尝试去解某道有关的题目。 第二部分 怎样解题 类比:1. 类比是一种相似性。2. 长方形的每一条边只与另外一条边平行,而垂直于其他边;长方体的每一个面只与另外一个面平行,而垂直于其他面。3. 类比渗透于我们所有的思想、我们每天讲的话和我们作出的琐碎的结论乃至艺术的表达方法和最高的科学成就。4. 类比推理是最普遍的推论方法。5. 简单性是真理的标志。 辅助元素:1. 聪明的学生和聪明的读者不会满足于只验证推理的各步骤都是正确的,他们也想知道各个不同步骤的动机和目标。2. 数学的趣味性就在于它需要我们推理和创造能力的充分发挥。3. 想出一道辅助题目是一项重要的思维活动。
定义:1.
观察未知量:1.
现代探索法:1.
分解与重组:1.
求解题、求证题:1.
图形:1. 探索法:探索法的目的是要学习发现和创造的方法和规则。 探索式论证:探索式论证并不是作为最终的严格的论证,而只是暂时的和看似合理的,它的目的要发现当前题目的解。 如果你不能解所提的题目:如果你不能解能所提的题目,先尝试去解某道有关的题目:即变化题目。要达到这一目标有不同的方法,如普遍化、特殊化、类比以及其他分解和重组的各种方法。
归纳与数学归纳:1.
普遍化:1.
拘泥与变通:1.
进展与成绩: 符号:1. 符号的使用对于运用推理看起来是不可缺少的。2. 建立方程就好像是一种翻译,将普通的语言翻译成数学符号表示的语言。3. 解题中的一个重要步骤是选择符号。4. 一个好的符号必须是毫无含糊、富有意义、便于记忆的。5. 数学符号组成的语言有助于思维。 建立方程:建立方程的意思是数学符号来表达一个用文字表述的条件,就是将普通的语言翻译成数学公式的语言。
进展的标志:1. 未知量是什么?1. 问题的解答本质上就是把未知量与已知数据联系起来。因此,解题者必须再三把注意力集中在这些元素上,并自问:未知量是什么?已知数据是什么?2. 一道证明题的主要部分是题设和结论,而相应的一些问题是:题设是什么?结论是什么? 证明:1. 学习平面几何的基本原理能提供获得严格证明这一概念的最好机会。2. 证明提供证据。 特殊化:特殊化是从考虑一系列给定对象构成的集合过渡到考虑此集合的一个子集或者仅仅一个对象。 聪明的解题者:1. 聪明的解题者常常会问自己那些与我们表中所列出的相似的问题。2. 聪明的解题者首先要做的是说可能充分、清楚地理解题目。3. 如果不能真正唤起解题的欲望,还不如置之不理。然而光有理解是不够的,他必须全神贯注于题目,他必须热切地期望获得解答。获得真正成功的公开秘密就是要全身地投入到题目中去。 聪明的读者:一位聪明的数学书读者有两种愿望:首先,看到论证的当前一步是正确的。其次,看到当前这一步的目的。 变化题目:1. 解题的成功决定于选择正确的角度,决定于从容易接近的一侧来攻克要塞。2. 从某种观点看,解题中的进展似乎就是对以前获得的知识进行了动员和组织。我们必须从记忆中提炼出某些元素并运用到题目中去,现在,题目的变化能帮助我们提炼出这样的元素。 检验你的猜想:1. 你的猜想也许是正确的,但把一个生动的猜想当作已证实的真理则是愚蠢的。2. 最好的念头会因不加不加鉴别的接受而受损,却会因严格的检验而茁壮。3. 如果你不能解所提的题目,先尝试去解某道相关的题目。 |
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