奥数精讲-加法原理和乘法原理（一）

1.加法原理：做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法。那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决。

2.用字母可以这样来表示：如果完成一件任务有n类方法，在第1类方法中有m1种不同方法，在第2类方法中有m2种不同方法，......，在第n类方法中有mn种不同方法。那么完成这件任务共有N=m1+m2+m3+......+mn种不同的方法。

3.乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，......做第n步有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×......×mn种不同的方法。

精讲1：二十把钥匙开二十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，能把锁和钥匙配起来？

分析：第一把钥匙开第一把锁最多要试19次，第二把钥匙开第二把锁最多要试18次，第三把钥匙开第三把锁最多要试17次，以此类推，最后二把锁要开最多试1次。

解：19+18+17+…+3+2+1

=（19+1）×19÷2

=190（次）

答：最多试开190次，能把锁和钥匙配起来。

精讲2：.旗杆上最多可以挂三面信号旗，现有红色、蓝色、绿色、黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？

分析：四种信号旗最多挂三面，可采用分类讨论方法。可分为四类。第一类只挂一面，第二类挂两面，第三类挂三面，第四类挂四面。分为四类运用加法原理。每一类的完成又分成几个步骤，运用乘法原理。

解：第一类：只挂一面 4（种）

第二类：挂两面 4×3=12（种）

第三类：挂三面 4×3×2=24（种）

第四类：挂四面 4×3×2×1=24（种）

4+12+24+24=64（种）

答：最多能表示64种不同的信号。

精讲3：两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？

分析：两数都是奇数，或两数都是偶数之和为偶数。骰子上有1、3、5三个奇数，每一个奇数都可以与另一个骰子上的3个奇数组成偶数，一共有3×3＝9（种）；同样，每个骰子上有2、4、6三个偶数，与另一个骰子对应的3个偶数也是3×3＝9（种）。

解：9＋9＝18（种）

答：两次出现的数字之和为偶数的情况有18种。

精讲4：用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？

分析：区域A与当区域E颜色相同时，A有5种颜色可选，B有4种颜色可选，C有3种颜色可选，D也有3种颜色可选，根据乘法原理，此时不同的染色方法有：5×4×3×3＝180（种）。当区域A与区域E颜色不同时，A有5种颜色可选，E有4种颜色可选，B有3种颜色可选，C有2种颜色可选，D有2种颜色可选。

解：5×4×3×3+5×4×3×2×2＝420（种）

答：共有420种不同的染色方法。

精讲5：:如图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过，问：这只甲虫有多少种不同的爬法？

分析：从A点到B点有两类爬法，一类是从A点先经过C点到B点，一类是从A点先经过D点到B点，两类中的每一种具体爬法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从A到B的全部爬法时，只要用加法原理求和。

解：从A点先经过C到B点：1×3=3（种），从A点先经过D到B点共有：2×3＝6（种），

3＋6=9 （种）。

答：这只甲虫有9种不同的爬法。