冲刺2019年高考数学, 典型例题分析113: 棱柱棱锥棱台的体积

典型例题分析1：

在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=3，BC=2，AA₁=1，点M，N，P分别是棱AB，BC，CC₁的中点，则三棱锥C₁﹣MNP的体积为．

考点分析：

棱柱、棱锥、棱台的体积．

题干分析：

V_C1－MNP=V_M－NPC1=S_△NPC1·MB/3．

典型例题分析2：

在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，PA=1，PC=PD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=1，CD=2．

（1）求证：PA⊥AB；

（2）设M为PD的中点，求三棱锥M﹣PAB的体积．

（1）证明：取CD中点E，则CE=1，

由AB∥CD，AB=1，AB⊥BC，得ABCE是矩形，

∴AE⊥CD，

∵PC=PD，

∴PE⊥CD，又PE∩AE=E，

∴CD⊥平面PAE，而PA⊂平面PAE，

∴CD⊥PA，

又CD∥AB，

∴PA⊥AB；

（2）解：由（1）知，PA⊥平面ABCD，

∵M是PD的中点，

∴V_M－PAB=V_D－PAB/2=V_P－ABD/2=1/2×1/3×1/2×1×1×1=1/12．

考点分析：

棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．

题干分析：

（1）取CD中点E，由已知可证ABCE是矩形，得AE⊥CD，又PC=PD，得PE⊥CD，再由线面垂直的判定可得CD⊥平面PAE，从而得到CD⊥PA，进一步得到PA⊥AB；

（2）由（1）知，PA⊥平面ABCD，再由M是PD的中点，然后利用等积法求得三棱锥M﹣PAB的体积．