【原】【高考数学】解题能力提升, 每日一题：第658题，

典型例题分析1：

四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2√34，AD=BC=2√41，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（　　）

A．50π

B．100π

C．200π

D．300π

解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，

所以可在其每个面补上一个以10，2√34，2√41为三边的三角形作为底面，

且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，

从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，

并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，

设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，

∴4R2=200，

∴球的表面积为S=4πR2=200π．

故选C．

考点分析：

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

题干分析：

由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2√34，2√41为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．

典型例题分析2：

《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（　　）  （注：1丈=10尺=100寸，π≈3.14，sin22.5°≈5/13）

AB=10（寸），则AD=5（寸），CD=1（寸），

设圆O的半径为x（寸），则OD=（x﹣1）（寸），

在Rt△ADO中，由勾股定理可得：52+（x﹣1）2=x2，

解得：x=13（寸）．

∴sin∠AOD=AD/AO=5/13，

即∠AOD≈22.5°，则∠AOB=45°．

则弓形优弧ACB的面积

S=1/2×π/4×132-1/2×10×12≈≈6.33（平方寸）．

则算该木材镶嵌在墙中的体积约为V=6.33×100=633（立方寸）．

故选：D．

考点分析：

棱柱、棱锥、棱台的体积．

题干分析：

由题意画出图形，求出圆柱的底面半径，进一步求出弓形面积，代入体积公式得答案．

解题反思：

本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，关键是对题意的理解，是中档题．

典型例题反思3：

如图，四边形ABCD是梯形．四边形CDEF是矩形．且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=90°，AB∥CD，M是线段AE上的动点．

（Ⅰ）试确定点M的位置，使AC∥平面DMF，并说明理由；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，且∠AED=45°，AE=√2，AD=CD/2，连接AF，求三棱锥M﹣ADF的体积．

解：（1）当M是AE线段的中点时，AC∥平面DMF，证明如下：

连接CE，交DF于N，连接MN，

由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，

由于MN⊂平面DMN，又AC⊄平面DMF，

所以AC∥平面DMF．

（2）∵∠AED=45°，AE=√2，

∴AD=DE=1，DC=2，

VM﹣ADF=VF﹣MDA，S△MDA=1/2×1×1/2=1/4，h=CD=2，

∴三棱锥M﹣ADF的体积VM﹣ADF=1/3×1/4×2=1/6．

考点分析：

棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

题干分析：

（1）当M是AE线段的中点时，连接CE，交DF于N，连接MN，推导出MN∥AC，由此能证明AC∥平面DMF．

（2）由VM﹣ADF=VF﹣MDA，能求出三棱锥M﹣ADF的体积．

解题反思：

本题考查满足线面平行的点的位置的确定与证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．