转载自百家号作者：最后的弦各位同学大家好，我们又见面了。今天还是讲数学，不废话，直接进入本期正题。
上期讲解了微分的简化几何推导，各位的评论我也都看了，评论是十分犀利啊，我也从中得到很多启发和一些新奇的想法，可谓是受益良多。
那这期我们来看看微分的逆运算“积分”
积分也是微积分的一个核心概念。但积分的要领是近似，我们的目的就是“化曲为直，化圆为方”
记得小学数学课的时候，老师让我们用圆规在方格子上画一个圆，然后数出圆中方格个数来算圆的面积。
老师当时叫我们将大于半格视为一格，小于半格就舍去，最后将格子总数相加来算圆的面积，再用面积算圆周率。因为有误差所以得到的圆周率总是大于或者小于3.14。但是，如果再细分方格或者把圆变大的话，圆内方格面积总和就会逐渐接近圆的面积，圆周率也就会更加接近3.14。因为方格和圆之间有缝隙，所以我们可以将方格不断分割来填充缝隙，直到误差极其微小为止。
所以，求和便是为了积分
为了方便计算，我们引入了积分符号：
因为求圆面积的要领是精确划分圆，所以划分的形状应该不仅仅限于正方形，我们同样可以把圆分成细长的短条来求和。将圆分割成无数的小长方形，每一条宽为△x，对应的面积为长方形在x值对应的长度·△x，然后从左端到右端全部相加。
当我们逐渐缩小长方形的宽度，缩小到不能再缩小的程度。这样一来与其说是长方形倒不如说是无数根“细线”相加，其结果逐渐接近“圆的面积”。
得出圆的面积积分表达式：dx表示宽度△x趋向于0
举个更简单的例子，下图圆的半径为1cm，我们把它分割成N条，用(2/N)就能得出每一条的宽度△x，即△x为(2/N)
实验结果证明：
当N=10时，所有短条的面积和为2.637049
当N=20时，所有短条的面积和为2.904518
当N=40时，所有短条的面积和为3.028465
当N=2000时，所有短条的面积和为3.139555
当N=20000时，所有短条的面积和为3.141391，此时△x只有0.0001cm。虽然这个数值已经是纤细至极，但在分割图形时并不算是特别精细的尺度。在积分领域，会使用更精细、更接近0的尺度。
之前的文章我提到过圆的面积微分（求导）是圆的周长，球的体积微分（求导）是球的表面积。大家有可能还不太明白，那我们用图片来做个较为形象的解释。
设半径为r的圆的面积是关于r的函数，则有S（r）=πr^2，当圆的半径增加△r时，面积会增加多少呢？
假设△r足够小，那么圆环面积△S（即增加的部分）≈圆的周长×△r（为什么是约等于，因为圆环外侧周长略大）
现在将两边同时除以△r得（△S/△r）≈圆的周长，取△r趋于0时的极限即（dS/dr）=圆的周长
接着往下看
因为圆环的面积≈（L·△r）等于圆的周长乘以△r，所以圆的面积πr^2等于累加所有薄圆环面积
划重点：
所以微分就是从圆上多个同心圆之间排列的薄圆环中取出一个薄圆环，积分则是累加极薄圆环的面积从而求出圆的面积
同样，我们来微分、积分球体：
当球的半径增加△r时，体积增加的是球外侧很薄的一层皮，这层薄皮的体积大致为
球的表面积乘△r
反之，球的表面积积分为球的体积
所以微分和积分就是相反的关系
我们知道了（x^n）的微分公式为（nx^(n-1)），所以可推出（x^n）的积分公式为：
后面一个C我们称为微分为0的函数，这是没有变化的函数，叫做常数函数，这个C可以是任意数值，是一个不定项，这样的积分叫做不定积分。前面求的面积和体积叫定积分，定积分原则上是从哪到哪固定的积分。
这里有个C可能有些同学觉得纠结，其实不用担心，在计算面积等问题时C就会消失。你也可以这么理解，微分为0即是任意常数C，那么反过来0的积分便是任意常数C，这是一个不定项。
那我们现学现用，来试试积分公式：
直线与x轴的夹角为45°，阴影部分为一个梯形，上底=1，下底=2，高=1，我们用梯形面积公式（上底+下底）x高÷2能很快得出面积为3/2。那我们再用积分公式试试，如下图：
我在想假如高考的时候出了一道算不规则面积的填空题，刚好你教材又没有讲过的话，那你可以巧妙利用这个公式算出来。一道填空题五分啊~O(∩_∩)O哈哈~
这期结束的时候，给同学们布置两个家庭作业~^_^
1.利用积分公式算出下面阴影部分的面积
2.我们现在已经知道了积分公式的一般表达式，那么请大家思考下：反函数（1/x）的积分公式怎么求？因为（1/x）可以写成（x^(-1)），此时如果再用上述的积分公式，那么分母就等0了，分母为0公式无意义，那该怎么求呢，下来慢慢思考。
本期就写到这，盯了一上午的电脑，眼睛都看花了
各位，下期再见
退下了，告辞。。
